2020年高考数学(理)总复习：数列的求和及综合应用(解析版).docx

2020年高考数学(理)总复****数列的求和及综合应用题型一数列求和【题型要点】⑴分组求和法:=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.⑵裂项相消法:将数列的通项分成两个代数式子的差,即 an=f(n+1)-f(n)的形式,然c后通过累加抵消中间若干项的求和方法. 形如 (其中{an}是各项均不为0的等差数列,anan1C为常数):形如{anbn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列求和,一般分三步:①巧拆分;②构差式;③:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法,一般步骤:①求通项公式;②定和值;③倒序相加;④求和;⑤:先将某些项放在一起求和,然后再求 :通过对Si,S2,S3,…的计算进行归纳分析,寻求规律,猜想出 Sn,,n为偶数,n+1,n为奇数【例1】已知各项为正数的等比数列 {an}的前n项和为Sn,数列{bn}的通项公式bn=(n€N*),若S3=b5+1,b4是a?和a4的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;⑵求数列{anbn}的前n项和Tn.【解析】(1)•••数列{bn}的通项公式bn=],n为偶数,粉(n€N*),•••b5=6,b4=4,n+1,n为奇数'设各项为正数的等比数列{an}的公比为q,q>0,T&=b5+1=7,「.a1+ag+a1q2=7,①•/b4是a2和a4的等比中项,二a2a4=a2=16,解得a3=aiq2=4,②由①②得3q2—4q—4=0,解得q=2,或q=—3(舍),3ai=1,an=2 1.(2)当n为偶数时,Tn= (1+1)2°+2•+ (3+ 1) 22+4 23+ (5+1) 24+…+[[(n—1)+1] 2n—2+n2n—1=(2°+22+322+423+…+n2n—1)+(2°+22+…+2n—2),设Hn=2°+22+322+423+…+n2n—二①2Hn=2+222+323+424+…+n2n,②—?n①一②,得一Hn=2°+2+22+23+…+2n—1—n2n= —n2n=(1—n)2n—1,1—2•••Hn=(n—1)2n+1,nz-x•t(n1)2n+1+1—42 2=n+2…Tn=(n—1)2+1+ —=nI2+-.1-4 l3) 35\ 2 —当n为奇数,且n》3时,Tn=Tn-1+(n+1)2n—1=n—三i2n—1+£+(n+1)2n—1=< 3丿 32\—22n-2 2n—1+2,经检验,T1=2符合上式,3 3•Tn=2n23Qnn2322,n为奇数3-,n为偶数3【反思总结】错位相减法适用于求数列{anbn}的前n项和,其中{an}为等差数列,{bn}”,就是要找同类项”相减•要注意的是相减后所得部分, 求等比数列的和,此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确,可对得到的和取n=1,{an}的前n项和为Sn,且6Sn=3^1+a(a€N).(1)求a的值及数列{an}的通项公式;/一1\^2n2+2n+1\⑵设bn=log3an+22log3an+12,求{bn}的前n项和Tn.【解析】 (1)t等比数列{an}满足6Sn=3n+1+a(a€N),n=1时,6a1=9+a;n》2时,6an=6(Sn—Sn-1)=3“1+a—(3n+a)==3n1,n=1时也成立,二1^6=9+a,解得a=—3,.••an=3n1.(2)bn=一「一12r2+2n+121(n+1)(log3an+22(log3an+12—12」2n+2n+1) ( 1)n—1T 2 =(—1)n(n+仃当n为奇数时,Tn=当n为偶数时,Tn=12n+,Tn=1+(—1)n—1题型二数列与函数的综合问题【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类:已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、 图象研究数列问题;已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.【例2】已知数列{a*}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+2n.⑴求数列{an}的通项公式;⑵若点(bn,an)在函数y=log2x的图象上,求数列{bn}的前n项和Tn.【解】 ⑴当n》2时,an=Sn—Sn-1=2n2+2n—[2(n—1)2+2(n—1)]=4n,当n=1时,ai=Si=4=4X1,二数列{an}的通项公式为an={bn,an}在函数y=log2x的图象上得an=log2bn,且an=4n,二bn=2an=24n=16n,故数列{bn}是以16为首项,公比为16的等