函数的奇偶性和周期性.doc

函数的奇偶性和周期性目标定位能了解函数的奇偶性、周期性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性、周期性的方法能利用函数的奇偶性、周期性解决一些如求函数值、函数表达式、函数的周期、函数图象等问题知识梳理奇偶性:一般的,对函数f(x),如果对于定义域内的每一个x,都有_______________,那么函数f(x)就叫做奇函数,图像关于_____对称;都有_______________,那么函数f(x)就叫做偶函数,图像关于_____对称,:①定义:②判断方法:Ⅰ.定义法步骤:;;(-x);(-x)与f(x)或f(-x)与-f(x)的关系。若f(-x)=f(x),则函数f(x)为_______;若f(-x)=-f(x),则函数f(x)为_______;Ⅱ图象法③已知:H(x)=f(x)g(x)若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同,则在公共定义域内H(x)为_______若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反,则在公共定义域内H(x)为_______已知:H(x)=f(x)g(x)若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同,则在公共定义域内H(x)和f(x)奇偶性_______若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反,则在公共定义域内H(x)的奇偶性无法判断④常用的结论:若f(x)是奇函数,且x在0处有定义,则f(0)=:奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增(减),则f(x)在区间[-b,-a]上也是单调递增(减);偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反。偶函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增(减),则f(x)在区间[-b,-a]上单调递减(增)如果奇函数有反函数,(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即_____________________④若函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)]是_______;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y=f[g(x)]是_______。复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则_______为函数f(x)的周期。若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则_______为函数f(x),也是高考考察的重点,通常会结合其他的知识点考察,解决判断函数的奇偶性,函数的求值,函数的解析式等问题【例题1】判断下列函数的奇偶性:1).2)3)【分析】主要利用函数奇偶性的判断依据进行判定,【答案】解:1)定义域: 关于原点非对称区间∴此函数为非奇非偶函数2)函数的定义域属于R,有所以此函数为奇函数3)所以函数的定义域为去掉绝对值符号得又,所以函数为奇函数【点评】函数奇偶性的考察首先要看其定义域是否关于原点对称,然后利用相关的概念或者结论解决问题,对于一些常见函数的奇偶性要熟悉巩固练****判断下列函数的奇偶性1)的奇偶性___2)f(x)=(xÎR)【例题2】已知函数定义在R上,且对一切实数都有,:,且是偶函数;【分析】本题涉及到抽象函数,证明过程中注意利用特殊值的思想【答案】证明:当x=y=0时,有f(0)+f(0)=2f(0)f(0)又,所以f(0)=1当x=0时,带入中有函数是偶函数【点评】对于抽象函数性质的思考,要注意函数的原形是什么,可以用什么样的函数表达式来表示,另外,特殊的思想也要贯穿进去,某些特殊值,如1,-1,0等等,是可以非常快的帮我们找到函数的一些性质巩固练****定义在R上的函数f(x)满足:f(a+b)=f(a)+f(b),(a,b为任意实数),又当f>0时,f(t)<0,求f(0),并判断f(x)的奇偶数【例题3】设为实数,函数,.(1)讨论的奇偶性;(2)求的最小值.【分析】这是一个含有绝对值的二次函数,需要利用奇、偶函数的性质来帮助我们解决第一个问题,如非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同,则在公共定义域内H(x)和f(x)奇偶性相同,若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反,则在公共定义域内H(x)的奇偶性无法判断,因为在定义域内为偶函数,所以我们要考察函数f(x)的奇偶性,则重点的考察的奇偶性,同时我们也要借助函数的性质,利用分类讨论的思想来