立体几何两种解法的专业论文.doc

立体几何中向量法和普通方法的比较立体几何在培养学生空间想象能力、逻辑推理能力等方面有着独到的作用,因而它成为历届高考重点考查的内容之一,在历年的高考中约占12%.高考数学试卷中立体几何的难度不会很大,所以应在基础知识,基本技能落实的基础上注意类比、转化思想,数行结合思想的应用,借助向量知识、点-线-面之间的性质等工具,选取合理、、线面、面面的平行与垂直的判定和性质以及空间距离和空间角等这几方面,下面分别从传统法和向量法两种方法阐述这两种方法在解这些问题时的方法。传统法传统方法是在向量法以前的唯一一种解立体几何的方法,它存在一定的技巧性,只要从多个方面考虑问题解决并不难。以下从几个方面给出运用传统法的方法。(一)解决线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质(见表一)(二)传统法解决空间距离的方法①异面直线距离:通常找公垂线段,在根据已知条件求出公垂线段长。②点到平面的距离:先作出表示距离的线段,再证明它就是所要求的距离,然后再计算;或用等体积法。③面与面间距离:找出两个面的公垂线,根据已知条件求出公垂线的距离即为面与面间的距离。(三)传统法解决空间角的方法①异面直线所成的角:将异面直线平移,转化为同一平面内的两条直线,在借助三角形的正、余弦定理求解。②线面角:先求点到面的距离,通过射影斜线间在同一个三角形内,然后解直角三角形的方法进行求解。③二面角:方法一:设二面角--的大小为(0≤≤),,分别是平面,内且垂直于的向量,则=<,>或=-<,>。方法二:先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离,通过射影斜线间的关系,然后通过解直角三角形求角。(四)解题思路传统法的解题思路:证明平行和垂直主要是依据判定定理和性质定理,计算问题主要是作辅助线、证明、求解的过程,先要做出或寻找到所求的距离或角,然后证明,,余弦定理等解三角形的知识,解决问题的技巧性较大。平行垂直直线和直线(1)同平行于直线的两直线平行行(2)=,//,(3)(4)⊥,⊥(5)两平行平面都和第三个平面相交分别交于与,则交线平行(1)⊥,//c⊥c(2)⊥,⊥(3)三垂线定理及其逆定理(4)//,⊥⊥直线()与平面(1)(2)(3),⊥,⊥//(1)⊥m,⊥⊥(2)//,⊥⊥(3)//,⊥⊥(4)⊥,,,⊥⊥(5)⊥,⊥,⊥平面与平面(1)若内的两条相交直线,都平行于,则//(2)⊥,⊥//(3)平行于同一平面的两平面平行(1)⊥,⊥(2)//,⊥⊥表一(见[1][2])例1:如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,,,,为的中点,为的中点。(I)证明:直线;(II)求异面直线与所成角的大小;(Ⅲ)求点到平面的距离。(1)证明:取中点,连接,.,,.又,平面平面,平面.(2)解:,为异面直线与所成的角(或其补角).,.,,, ,,与所成角的大小为.(3)解:平面,,过点作.,,平面,,平面,线段的长就是点到平面的距离.,,,点到平面的距离为.(见[3])例2:如图,直三棱柱中,,、分别为、的中点,平面.(1)证明:;(2)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小.(1)证明:取中点,连接,,并且,四边形为平行四边形,.又平面,平面,,是的垂直平分线,.(2)解:作,垂足为,⊥,∠=.=,2=,解得=..,四边形为正方形.,⊥,∩=,⊥平面,平面⊥、、,设∩,,⊥平面,∠,=,=1.,∠=300,与平面所成的角为300.(见[4])二、向量法向量的应用是在熟练三视图的解题方法后,通过建立空间直角坐标系,找向量与向量之间的关系从而得到想要的结论。(一)证明线线、线面、面面的平行的方法①线线平行:设,分别是两条不重合的直线,的方向向量,则∥=(∈R,且≠0)。②线面平行:方法一:设直线在平面外,是的一个方向向量,是的一个法向量,则//⊥。方法二:对于向量,存在实数,有(与不共线),则与,共面,即与、所确定的平面平行或在其内。③面面平行:设,分别是两个不重合的平面,的法向量////=(R,且≠0)。(二)证明线线、线面、面面的垂直的方法①线线垂直:设,分别为直线,的一个方向向量,则·=0。②线面平行:设为直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,那么要使垂直于的条件:⊥//=(R,且≠0)。③面面垂直:设,分别为平面,的一个方向向量,则⊥⊥·=0。(三)向量法求解空间距离的方法 ①两点间的距离:设空间两点,的距离:=.②点线间的距离:点直线,设是直线的一个法向量,在上取点,在上的投影为||=,则点到直线的距离=||=。③点到面的距离:方法一:设点,平面的方程为:。