中南大学2004年研究生入学考试试题.doc

中南大学 200 4 年研究生入学考试试题考试科目:高等代数下面的 E 均为 n 阶单位矩阵。一、填空。( 5分× 5=25 分) 1、当k?______ 时,向量(1, , 5) k??能由向量 1 (1, 3, 2) ?? ?, 2 (2, 1,1) ?? ?线性表示。 2、假设 n 阶方阵 A 满足 2 3 2 0 A A E ? ??,则 A 的特征值为______ 。 3、已知 n 阶方阵 A 满足 2 2 3 0 A A E ? ??,则 1 ( 4 ) A E ?? ?______ 。 4、设A 是n 阶方阵,满足 T AA E ?( TA 是A 的转置矩阵), | | 0 A?,则| | A E ? ?______ 。 5、设n 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 1, 2, , n?,则当满足______ 时, tE A ?为正定矩阵。二、计算 n 阶行列式。( 15分) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 nn n n n n n n n n x x x x x x D x x x x x x ? ? ?????? ???三、证明方程组 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 1 5 x x a x x a x x a x x a x x a ? ???? ???? ???? ???? ??有解的充要条件是 510 iia ???,在有解的情况下求出它的一切解。( 15分) 四、证明,若方程 30 x px q ? ??的两个跟?和?有关系式 0 ????? ??,则 2 ( ) q p q ? ??。(15分) 五、( 20分) 1、证明:向量 1 2 (1,1, ,1,1), (1,1, ,1, 0), , (1, 0, , 0) n ? ? ?? ? ?? ???是n 维向量空间的一组基。 2、求向量 1 2 ( , , , ) n a a a ???在此基下的坐标。六、设 1 0 0 1 0 1 0 1 0 A ? ?? ??? ?? ?? ?,证明当 3n?时,有 2 2