Delaunay三角剖分算法.docx

[1]Delaunay三角剖分算法点集的三角剖分(Triangulation),对数值分析(比如有限元分析)以及图形学来说,都是极为重要的一项预处理技术。尤其是Delaunay三角剖分,由于其独特性,关于点集的很多种几何图都和Delaunay三角剖分相关,如Voronoi图,EMST树,Gabriel图等。Delaunay三角剖分有最大化最小角,“最接近于规则化的“的三角网和唯一性(任意四点不能共圆)两个特点。定义编辑【定义】三角剖分:假设V是二维实数域上的有限点集,边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段,E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G,该平面图满足条件:除了端点,平面图中的边不包含点集中的任何点。没有相交边。平面图中所有的面都是三角面,且所有三角面的合集是散点集V的凸包。在实际中运用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分,它是一种特殊的三角剖分。先从Delaunay边说起:【定义】Delaunay边:假设E中的一条边e(两个端点为a,b),e若满足下列条件,则称之为Delaunay边:存在一个圆经过a,b两点,圆内(注意是圆内,圆上最多三点共圆)不含点集V中任何其他的点,这一特性又称空圆特性。【定义】Delaunay三角剖分:如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边,那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。优化处理:理论上为了构造Delaunay三角网[2],Lawson提出的局部优化过程LOP(LocalOptimizationProcedure),一般三角网经过LOP处理,即可确保成为Delaunay三角网,其基本做法如下所示:将两个具有共同边的三角形合成一个多边形。以最大空圆准则作检查,看其第四个顶点是否在三角形的外接圆之内。如果在,修正对角线即将对角线对调,即完成局部优化过程的处理。LOP处理过程如下图所示:Delaunay剖分的算法Delaunay剖分是一种三角剖分的标准,实现它有多种算法。准则特性编辑准则:要满足Delaunay三角剖分的定义,必须符合两个重要的准则:空圆特性:Delaunay三角网是唯一的(任意四点不能共圆),在Delaunay三角形网中任一三角形的外接圆范围内不会有其它点存在。如下图所示:最大化最小角特性:在散点集可能形成的三角剖分中,Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。从这个意义上讲,Delaunay三角网是“最接近于规则化的“的三角网。具体的说是指在两个相邻的三角形构成凸四边形的对角线,在相互交换后,六个内角的最小角不再增大。如下图所示:特性:以下是Delaunay剖分所具备的优异特性:最接近:以最近的三点形成三角形,且各线段(三角形的边)皆不相交。唯一性:不论从区域何处开始构建,最终都将得到一致的结果。最优性:任意两个相邻三角形形成的凸四边形的对角线如果可以互换的话,那么两个三角形六个内角中最小的角度不会变大。最规则:如果将三角网中的每个三角形的最小角进行升序排列,则Delaunay三角网的排列得到的数值最大。区域性:新增、删除、移动某一个顶点时只会影响临近的三角形。 Lawson算法产生的三角剖分[3]:三角网最外层的边界形成一个凸多边形的外壳。计算方法编辑a)Lawson算法逐点插入的Lawson算法是Law