柯西、魏尔斯特拉斯对微积分的贡献-课件（PPT·精·选）.ppt

柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进引进了清晰和严格的表述方法。正如著名数学家冯·诺依曼所说:“严密性的统治地位基本上由柯西重新建立起来的。”在这方面他写下了三部专著:《分析教程》(1821年)、《无穷小计算教程》(1823年)、《微分计算教程》(1826-1828年)。他的这些著作,摆脱了微积分单纯的对几何、运动的直观理解和物理解释,引入了严格的分析上的叙述和论证,从而形成了微积分的现代体系。主要贡献柯西在数学分析中,可以说柯西比任何人的贡献都大,微积分的现代概念就是柯西建立起来的。有鉴于此,人们通常将柯西看作是近代微分学的奠基者。阿贝尔称颂可惜‘是当今懂得应该怎样对待数学的人’。并指出:“每一个在数学中喜欢严密性的人,都应该读柯西的杰出著作《分析教程》。”柯西将微积分严格化的方法虽然也利用无穷小的概念,但他改变了以前数学家所说的无穷小是固定数。而把无穷小或无穷小量简单的定义为一个以零为极限的变量。他定义了研究了行列式的理论,并得到了有名的柯西公式。柯西引入了极限概念,并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的精华,也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献。柯西柯西的另一个重要贡献,是发展了复变函数的理论,取得了一系列重大的成果,特别是他在1814年关于复数极限的定积分的论文,开始了他作为单复变量函数理论的创立者和发展者的伟大业绩。他还给出了复变函数的几何概念,证明了在复数范围内幂级数具有收敛圆,还给出了含有复积分限的积分概念以及参数理论等。柯西柯西还是探讨微分方程解的存在性问题的第一个数学家,他证明了微分方程在不包含奇点的区域内存在着满足给定条件的解,从而使微分方程的理论深化了。在研究微分方程的解法时,他成功提出了特征带方法并发展了强函数方法。柯西柯西最重要和最有创造性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的微积分,但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念,并且用这种积分来研究多种多样的问题,如实定义积分的计算,级数与无穷乘积的展开,用含参变量的积分表示微分方程的解等等。柯西柯西的工作在一定程度上澄清了在微积分基础问题上长期存在的混乱,向分析的全面严格化迈出了关键的一步。另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯。数学家伟大魏尔斯特拉斯是一个有条理而又苦干的人,在中学教书的同时,他以惊人的毅力进行数学研究。魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义,这就是今天极限论中的“ε-δ”方法。魏尔斯特拉斯用他创造的这一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念,特别地,他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱。魏尔斯特拉斯斯特拉斯魏尔另外,魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源,要使分析严格化,就首先要使实数系本身严格化。而实数又可按照严密的推理归结为整数(有理数)。因此,分析的所有概念便可由整数导出。这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献,在数学史上,他获得了“现代分析之父”的称号。1857年,魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义,但他没有发表。1872年,戴德金(R. Dedekind, 1831-1916)、康托尔(B. Cantor,1829-1920)几乎同时发表了他们的实数理论,并用各自的实数定义严格地证明了实数系的完备性。这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。魏尔斯特拉斯