高中数学集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大值、最小值学案.docx

第2课时函数的最大值、最小值学****目标 (小)值的概念及其几何意义(难点).(重点).(重点).知识点函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的x∈I,都有f(x)≤Mf(x)≥M存在x0∈I,使得f(x0)=M结论称M是函数y=f(x)的最大值称M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标【预****评价】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何函数f(x)都有最大值和最小值.( )(2)若存在实数m,使f(x)≥m,则m是函数f(x)的最小值.( )(3)若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b).( )提示(1)× 反例:f(x)=x既无最大值,也无最小值.(2)× 若使m是f(x)的最小值,还需在f(x)的定义域内存在x0,使f(x0)=m.(3)√由于f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(a)≤f(x)≤f(b).故f(x)的最小值是f(a),最大值是f(b).题型一用图象法和函数的单调性求函数的最值【例1】(1)已知函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为________,________.(2)求函数f(x)=在区间[2,5]上的最大值与最小值.(1)解析作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)==0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1, 1 0(2)解任取2≤x1<x2≤5,则f(x1)=,f(x2)=,f(x2)-f(x1)=-=.∵2≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)<f(x1).∴f(x)=在区间[2,5]上是单调减函数.∴f(x)max=f(2)==2,f(x)min=f(5)==.(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域,在定义域内进行.(2)求函数在闭区间上的最值,易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入,认为是函数的最值.【训练1】已知函数f(x)=x+.(1)求证f(x)在[1,+∞)上是增函数;(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.(1)证明任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)·.∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,∴x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)在[1,+∞)上是增函数.(2)解由(1)可知,f(x)在[1,4]上递增,∴当x=1时,f(x)min=f(1)=2,当x=4时,f(x)max=f(4)=.综上所述,f(x)在[1,4]上的最大值是,【例2】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)解(1)设月产量为x台,则总成本为20000+100x,从而f(x)=(2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25000;∴当x=300时,f(x)max=25000,当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数,f(x)<60000-100×400<25000.∴当x=300时,f(x)max=25000,即每月生产300台仪器时利润最大,(1)读题:分为读懂和深刻理解两个层次,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系(目标与条件的关系).(2)建模:把问题中的关系转化成函数关系,建立函数解析式,把实际问题转化成函数问题.(3)求解:选择合适的数学方法求解函数.(4)评价:对结果进行验证或评估,对错误加以改正,最后将结果应用于现实,:求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤.【训练2】某水厂蓄水池有水450吨,水厂每小时向蓄水池注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,,多少小时后蓄水池中水量最少?解设t小时后,池中水量为y吨,则y=450+80t-80=4(-10)2+50,当=10,即t=5时,ymin=50,所