基本不等式典型例题.doc

高中数学必修五典题精讲典题精讲例1(1)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值;(2)求函数y=x+:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0与x<0讨论.(1)解法一:∵0<x<,∴1-3x>0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,:∵0<x<,∴-x>0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]2=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.(2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2=2,当且仅当x=1时,<0时,y=x+=-[(-x)+].∵-x>0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.∴y=x+≤-,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,>-1时,求f(x)=x+:x>-1x+1>0,变x=x+1-1时x+:∵x>-1,∴x+1>0.∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=+1=,即x=0时,取得等号.∴f(x)min==:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,:令t=x2+1,则t≥1且x2=t-1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.∴当x=0时,>0,y>0,且+=1,求x+:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,:利用“1的代换”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x>0,y>0,∴≥2=,即y=3x时,+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+:由+=1,得x=.∵x>0,y>0,∴y>+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y>9,∴y-9>0.∴≥2=-9=,即y=12时,取得等号,此时x=4.∴当x=4,y=12时,x+:由+=1,得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,当且仅当x-1=y-+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,:本题容易犯这样的错误:+≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+