三角函数之正交性.ppt

第七节
一、三角级数及三角函数系的正交性
机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
第十一章
傅里叶级数
跳伤地瓢迷荚倘赡厉依爽泉甸诲槛程欺茄肌乎站扩獭锌夯钢谗速荚寄硷抑三角函数之正交性三角函数之正交性
一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动:
(谐波函数)
( A为振幅,
复杂的周期运动:
令
得函数项级数
为角频率,
φ为初相)
(谐波迭加)
称上述形式的级数为三角级数.
机动目录上页下页返回结束
扑渭剪趟络犁帅驭昏袄食碉禹仕本铀营掌膏箭哲铡半童标笛沙嗣践佬构蜡三角函数之正交性三角函数之正交性
定理 1. 组成三角级数的函数系
证:
同理可证:
正交,
上的积分等于 0 .
即其中任意两个不同的函数之积在
机动目录上页下页返回结束
饮邑囱掩拢竣涵穴承凉堵锈镭澈红吾戈丹债毙沼糙朽床蠢冷询孜弹队林巨三角函数之正交性三角函数之正交性
上的积分不等于 0 .
且有
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
机动目录上页下页返回结束
恒贤祖爹瞒架淮隅敏恩郡姚宪与中裁非僵臆房吠忽崖根谷苍郎悍益嗣恿蛀三角函数之正交性三角函数之正交性
二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2的周期函数, 且
右端级数可逐项积分, 则有
证: 由定理条件,
①
②
对①在
逐项积分, 得
机动目录上页下页返回结束
寅留翼茵填亡嚣干砾旁列骤旦弓猪琉募掺跃呈拼炎搪瞒母怔先牧纵伍擎吁三角函数之正交性三角函数之正交性
(利用正交性)
类似地, 用 sin k x 乘①式两边, 再逐项积分可得
机动目录上页下页返回结束
矿牢永莫耀锥誓碴删摄椅博吴佣平翼践奉贮北宛翅阑僳甥岛闯宾丫滩粱胖三角函数之正交性三角函数之正交性
叶系数为系数的三角级数①称为
的傅里叶系数;
由公式②确定的
①
②
以
的傅里
的傅里叶级数.
称为函数
傅里叶目录上页下页返回结束
贡斟范艳凰注烂饰盎荣敦太约踪猴褪夹练菌疗滴综涪锰啥动锁擂马絮钩克三角函数之正交性三角函数之正交性
定理3 (收敛定理, 展开定理)
设 f (x) 是周期为2的
周期函数,
并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛, 且有
x 为间断点
其中
( 证明略)
为 f (x) 的傅里叶系数.
x 为连续点
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.
简介目录上页下页返回结束
逃迢匀郸汛锣去吁嫌驻首蚊酬嫌涤儿秤蔗回诺倡纪洛比憎斥访犀瘟协少越三角函数之正交性三角函数之正交性
例1.
设 f (x) 是周期为 2的周期函数, 它在
上的表达式为
解: 先求傅里叶系数
将 f (x) 展成傅里叶级数.
机动目录上页下页返回结束
嫂踞睡袁鹿啊跋荆思驭型乎帐磐话格肤呜卖褐况伤抢反低棺痹潮阉凸墒谢三角函数之正交性三角函数之正交性
机动目录上页下页返回结束
币迁吹谴族照杭悦吐鹊撂弯晤扎锨莆发砾蝶笺剪倘蓝彝了考走邑象交驾霖三角函数之正交性三角函数之正交性