二次型及其矩阵表示.doc

第六章二次型
第一讲二次型及其矩阵表示、标准形
教学目的:通过本节的学****使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩阵表示方法.
教学重点与难点:二次型的矩阵表示
教学计划时数:2课时
教学过程:
一、二次型的概念
定义1:含有个变量的二次齐次函数
(1)
称为二次型.
附:1、当为复数时,称为复二次型;当为实数时,称为实二次型;
2、可以等于0,即(1)式中的各项都存在.
例1 ;
都为实二次型;
二、二次线性与对称矩阵
在(1)式中,取,则令,则(1)式可化为
称为二次型的矩阵形式,记为,
的秩,即.
例2 二次型
对应的实对称矩阵为
反之,实对称矩阵所对应的二次型是
三、合同矩阵
定义2:关系式

称为由变量到变量的线性变换,

,则称该线性变换为可逆线性变换.
说明:对于一般二次型,问题:求可逆线性变换,,得
其中,是关于的二次型,对应的矩阵为.
关于与的关系,我们给出下列定义.
定义3:设,为两个阶矩阵,如果存在阶可逆矩阵,使得则称矩阵合同于矩阵,或称与合同.
矩阵的合同的性质:
1、反身性对任意方阵,与合同.
2、对称性若与合同,则与合同.
3、传递性若与合同,且与合同则与合同.
4、若为对称阵,则也为对称阵,且,即合同的两个矩阵的秩不变.
四、标准形的定义
定义4:只含有平方项的二次型:称为二次型的标准形(或法式).
说明:二次型在可逆线性变换下,
则就可化为标准形: 且其标准形中的系数恰好为对角矩阵的主对角线上的元素, 因此上面的问题归结为能否合同于一个对角矩阵的问题.
五、化二次型为标准形的方法
我们要研究用可逆线性变换把二次型化为标准形的方法.

定理1:任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.
拉格朗日配方法的步骤是:
(1)若二次型含有的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形;
(2)若二次型中不含有平方项, 但是,则先作可逆线性变换
化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(1)中方法配方.
定理2:对任一实对称矩阵,存在可逆矩阵,.
例3 化二次型为标准形,并求所用的变换矩阵.
[解]
令即或,
则化为标准形:,所用变换矩阵为
.
例4 化二次型为标准形, 并求所用的变换矩阵.
[解] 由于所给二次型中不含平方项,所以令

代入中,可得
令即或,
则化为标准形:,且变换矩阵为
,
第二讲标准形的正交变换法、规范形的转化
教学目的:通过本节的学****使学生了解并掌握二次型的标准形与规范形的转化以及惯性定理.
教学重点与难点:二次型的标准形与规范形的转化
教学计划时数:2课时
教学过程:
上次课我们介绍了化二次型为标准形的方法之一(配方法),今天继续介绍化二次型为标准形的方法。
一、化二次型为标准形的方法
(略)

定理3:任给二次型总有正交变换(为正交矩阵),使化为标准形: 其中是的矩阵的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的步骤:
(1)将二次型表成矩阵形式,求出;
(2)求出A的所有特征值;
(3)求出属于各特征值的线性无关的特征向量;
(4)将特征向量正交化、单位化,得;
(5)记,作正交变换,则得的标准形
例1: 将二次型通过正交变换,化为标准形.
[解](1)写出对应的二次型矩阵:.
(2)求的特征值:由
得的特征值:.
(3)求对应的特征向量:
对于,解方程,由
,得基础解系.
对于,解方程,由
,得基础解系.
(4)将特征向量正交化:
取得正交向量组:
.
将其单位化得:
,,.
(5)作正交矩阵:令,则
,且在此变换下,原二次型化为标准形:.
二、惯性定理
在化二次型为标准形的过程中,可逆线性变换不唯一,对应的标准形也不唯一,但标准形中非零系数个数是相等的,,则二次型的标准形的正系数个数是不变的,从而负系数个数也是不变的,这就是下述的惯性定理.
定理4(惯性定理):设二次型且,有两个可逆线性变换及分别化二次型为标准形:
,
及
,
则中正数的个数与中正数的个数相等.
定义1:二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指