二次型及其矩阵表示.ppt

第五章第五章二次型二次型§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示§ § 标准形标准形§ § 唯一性唯一性§ §5. 4正定二次型正定二次型§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一、一、 n n元二次型元二次型二、非退化线性替换二、非退化线性替换三、矩阵的合同三、矩阵的合同四、小结四、小结§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示解析几何中选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴(标准方程) 中心与坐标原点重合的有心二次曲线问题的引入问题的引入 2 2 2 f ax bxy cy ? ??? cos sin cos sin x x y y x y ? ?? ?? ?? ?? ?? ? 2 2 f a x c y ? ? ??? ?§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示代数观点下作适当的非退化线性替换只含平方项的多项式二次齐次多项式 1 11 1 12 2 1 2 11 1 12 2 1 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y ? ?????? ???????? ?????????????????(标准形) 1 2 ( , , , ) n f x x x ?§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一、一、 n n元二次型元二次型 1 1、定义、定义设P为数域, 称为数域 P上的一个 n元二次型( Quadratic Form ). ① 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) 2 2 n n n f x x x a x a x x a x x ? ? ??? ? n个文字的二次齐次多项式 1 2 , , , n x x x ?, , 1, 2, , , ij a P i j n ? ?? 2 22 2 2 2 2 n n a x a x x ? ????? 2 33 3 3 3 2 n n a x a x x ? ???????? 2 nn n a x ?§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示注意注意 ①也可写成 1. 为了计算和讨论的方便,式①中的系数写成 2 . ija .2),,,( 11 2 21???????? nji ji ij ni i iinxxaxaxxxf??? jixx ji?§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示(1)约定①中a ij=a ji, i<j ,由 x ix j=x jx i,有② 2 2、二次型的矩阵表示、二次型的矩阵表示 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x a x a x x a x x ? ???? ?? 2 21 2 1 22 2 2 2 n n a x x a x a x x ? ????????????? 2 1 1 2 2 n n n n nn n a x x a x x a x ? ????. 11????? ni nj ji ijxxa § § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 11 12 1 21 22 2 1 2 ......... nn n n nn a a a a a a A a a a ? ?? ??? ?? ?? ?????令则矩阵 A 称为二次型的矩阵( matrix ). 1 2 ( , , , ) n f x x x ?)( nnPA ??§ § 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 11 12 1 1