长江大学20142015学年第一学期.doc.doc

长江大学试卷学院班级姓名序号
………………………………………….密………………………封………………..……………..线………………………. ………………………………
长江大学2014─2015学年第一学期
《线性代数》课程参考答案(B卷)
填空题(每小题3分,共30分)
1).4 ;2). ;3).0,-5,-5;4). ;5).1;6). 2;7). ;8).60 ;;9).9 ;10). ;
二、判断题(每题2分共10分)(认为对的打√,错的打)
1.); 2)√; 3); 4);√; 5).
三、解答题(46分)
1 (6分)可逆,,(步骤酌情给分3至4分)
2(6分);(步骤酌情给分3至4分)
3 (10分)因为 5分
所以为一个最大无关组, 1分
由于, 所以 4分
4、(12分)对增广矩阵进行初等行变换,化为行阶梯形:
4分
1)当时,,方程组无解; 2分
2)当时,,方程组有唯一解; 2分
3)当时,,方程组有无穷多解; 2分
此时
方程组的通解为 2分
5(12分)1)
,设该特征向量对应的特征值为,则(2分)
,解得,故(4分)
2)特征多项式为,特征值为
, (2分)
解方程组得到一组正交的特征向量分别为, (2分)
单位化得到
令,则P为正交矩阵,且在变换下,二次型的标准形为
(2分)
四、证明题(14分)
1、(8分)已知齐次线性方程组的系数矩阵为,
是中划去第列所得到的行列式的值,证明若不全为0,则是该方程组的基础解系。
证明:,由题意知,所以的基础解系只含有一个线性无关的向量。 3分
又因行列式,按第一行展开即有 2分
;即是的非零解,所以是该方程组的基础解系。 3分
2、(6分)已知向量组是齐次线性方程组的一个基础解系,与同维数的向量不是齐次线性方程组的解,证明线性无关。
证明:设 2分
则(*)
两边乘以A得

由于是齐次线性方程组的解,上式化为
2分
又向量不是齐次线性方程组的解,所以
带入(*)式得到
由是齐次线性方程组的一个基础解系得到进而得到;所以线性无关。 2分