第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION1.doc

第八章矢量算法与场论初步·、:矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示;、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质,以及它们在不同坐标系中的表达式;叙述了矢量的积分定理( 高斯公式、斯托克斯公式和格林公式) ;引进了仿射坐标系,阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量,同时把这些概念推广到 n维空间中去. 第二部分是张量代数、,,仿射联络、矢量和张量的平行移动,及协变微分法与自平行曲线等;并在 n 维空间中引进度量的概念,来定义黎曼空间,从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络,,因为黎曼空间是由度量定义的,所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.§1矢量算法一、矢量代数[矢量概念] 只有大小的量称为标量( 也称为数量或纯量). 例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量. 具有大小和方向的量称为矢量( 也称为向量). 例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量. AB 表示大小,用端点的顺序 A? ,B称为终点,这个矢量记作 AB ?, 或用黑正体字母 a 表示. 矢量的大小( 或长度) 的数值称为它的模或绝对值,用记号 AB ?或|a|: . . . 在这里所讨论的矢量,除特别说明外,都指自由矢量,就是说,所有方向相同,长度相等的矢量,不管始点如何,都看作相同的矢量. 模等于 ,记作 0,它是始点和终点重合的矢量. 模与矢量 a 的模相等而方向相反的矢量称为 a的负矢量,记作-a. 始点与原点 O重合而终点位于一点 M的矢量 OM ?( )称为点 M的矢径(或向径),记作 r, M的直角坐标为 x,y,z, 则有 r= → OM =(x,y,z)=xi+yj+zk 式中 i,j,k分别为 x轴, y轴, z轴的正向单位矢量,称为坐标单位矢量(或基本矢量). [矢量的基本公式] 名称公式图形矢量 a的坐标表示坐标单位矢量 i,j,k的坐标表示零矢量的坐标表示 a的长度(或模)a a的方向余弦(?,?,?为a的方向角)矢量 AB ?(两端点 A, B的坐标分别为(a x,a y,a z),(b x,b y,b z) a=a xi+a yj+a zk=(a x,a y,a z)i=(1,0,0 )j=(0,1,0 )k=(0,0,1 )0=(0,0,0 )(0无方向)a =a=aaa xyz 222?? cos cos cos ???aaaa xyz??? 1 AB ?=(b x-a x)i+(b y-a y)j+(b z-a z)k [加法] 若a=(a x,a y,a z)