量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION2.doc

§2 场论初步
场论的基本概念及梯度、散度与旋度
[标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z)，它在此空间区域D上就构成一个标量场，用点M(x,y,z)的标函数(x，y，zM的位置用矢径r确定，则标量可以看作变矢r的函数＝(r).
例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场.
[矢量场] 空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值R(x，y，z)，它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M(x，y，z)的矢量函数R(x，y，zM的位置用矢径r确定，则矢量R可以看作变矢r的矢函数R(r)：
R(r)＝X(x，y，z)i＋Y(x，y，z)j＋Z(x，y，z)k
例如流速场 (x，y，z)，电场E(x，y，z)，磁场H(x，y，z)都是矢量场.
与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.
[梯度]
grad＝(，，)==i＋j＋k
式中=i＋j＋k称为哈密顿算子,.
grad的方向与过点(x，y，z)的等量面＝C的法线方向N重合，并指向增加的一方，是函数变化率最大的方向，它的长度等于.
梯度具有性质：
grad(＋)＝ grad＋grad (、为常数)
grad()＝ grad＋ grad
gradF()＝
[方向导数]
＝l·grad＝cos＋cos＋cos
式中l＝(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角.
方向导数为在方向l上的变化律，它等于梯度在方向l上的投影.
[散度]
divR＝＋＋=·R=div(X , Y , Z)
式中为哈密顿算子.
散度具有性质：
div(a＋b)＝ diva＋divb (、为常数)
div(a)＝div a＋a grad
div(a×b)＝b·rot a－a·rotb
[旋度]
rotR＝()i＋()j＋()k=×R=
式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot R有的书刊中记作curl R.
旋度具有性质：
rot(a＋b)＝ rot a＋rot b (、为常数)
rot(a)＝rot a＋a×grad
rot(a×b)＝(b·)a－(a·)b＋(div b)a－(div a)b
[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算div作用到一个矢量场 R产生标量场div R，运算rot作用到一个矢量场R产生新的矢量场
rot ：
div rot R＝０
rot grad＝０
div grad＝ ＋＋=
grad div R＝(R)
rot rot R＝×(×R)
div grad(+)= div grad+div grad (、为常数)
div grad()=div grad＋div grad ＋２grad·grad
grad div R－rot rot R＝R
式中 为哈密顿算子，＝·＝２为拉普拉斯算子.
[势量场(守恒场)] 若矢量场R(x，y，z)是某一标函数(x，y，z)的梯度，即
R＝grad 或 X＝，Y＝，Z＝
则R称为势量场，标函数称为R的势函数.
矢量场R为势量场的充分必要条件是：rot R＝０，或
=,=,=
势函数计算公式
(x，y，z)＝(x0，y0，z0)＋＋
＋
[无散场(管形场)] 若矢量场R的散度为零，即div R＝0，则RT，使R＝rot T，对任意点M有
T＝
式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.
[无旋场] 若矢量场R的旋度为零，即rot R＝0，，这时必存在一个标函数，使R＝grad，而对任意点M有
＝－
式中r为dV到M的距离，积分是对整个空间进行的.
梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式
1．单位矢量的变换
[一般公式] 假定x=f(),y=g(),z=h()把()空间的一个区域 一对一地连续映射为(x，y，z)空间的一个区域D，并假定f，g，h都有连续偏导数，因为对应是一对一的，所以有
＝(x，y，z)，
再假定也有连续偏导数，则有
或逆变换
沿dx，dy，dz方向的单位矢量记作i，j，k，沿方向的单位矢量记作，则有
[圆柱面坐标系的单位矢量]