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量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 section1.doc


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矢量算法与场论初步·张量
算法与黎曼几何初步
本章包括两个部分.
第一部分是矢量代数、:矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示;、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质,以及它们在不同坐标系中的表达式;叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式);引进了仿射坐标系,阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量,同时把这些概念推广到n维空间中去.
第二部分是张量代数、,,仿射联络、矢量和张量的平行移动,及协变微分法与自平行曲线等;并在n维空间中引进度量的概念,来定义黎曼空间,从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络,,因为黎曼空间是由度量定义的,所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.
§1 矢量算法
矢量代数
[矢量概念] 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.
具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量.
AB表示大小,,B称为终点,这个矢量记作,(或长度)的数值称为它的模或绝对值,用记号或|a|表示.
矢量按其效能可分成三种基本类型:
.
.
.
在这里所讨论的矢量,除特别说明外,都指自由矢量,就是说,所有方向相同,长度相等的矢量,不管始点如何,都看作相同的矢量.
模等于1的矢量称为单位矢量.
模等于零的矢量称为零矢量,记作0,它是始点和终点重合的矢量.
模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量,记作-a.
始点与原点O重合而终点位于一点M的矢
量(图)称为点M的矢径(或向径),记作
r,M的直角坐标为x,y,z ,
则有
r==(x,y,z)=xi+yj+zk
式中i,j,k分别为x轴,y轴,z轴的正向单位
矢量,称为坐标单位矢量(或基本矢量).
[矢量的基本公式]
名 称
公 式
图 形
矢量a的坐标表示
坐标单位矢量i,j,k
的坐标表示
零矢量的坐标表示
a的长度(或模)
a的方向余弦(,,
为a的方向角)
矢量(两端点 A,
B的坐标分别为( ax,ay,az),
(bx,by,bz)
a=axi+ayj+azk=(ax, ay, az)
i=(1,0,0)
j=(0,1,0)
k=(0,0,1)
0=(0,0,0)(0无方向)
= a=

=(bx-ax)i+(by-ay)j
+(bz-az)k
[加法] 若a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
a+b=( ax+bx,ay+by,az+bz)
把矢量的始点移到原点O,以a,b为边作平行四边行,由原点作出的对角线就表示和矢量a+b(称为平行四边形法则,);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a+b(称为三角形法则,).
加法运算适合如下规律:
(交换律)
(结合律)
a+0=0+a=a,a+(-a)=0
[减法] 若a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则
a-b=(ax-bx,ay-by,az-bz)
把矢量b的负矢量与矢量a相加,得矢量a-b
(图).
对任意两个矢量a和b成立三角形不等式:
|a+b||a|+|b|
[数乘] 以实数乘矢量a称为数乘,>0时,a的模伸缩倍,方向保持不变;当<0时,a的模伸缩||倍,而方向与a相反(图),如果a=(ax,ay,az)则
a=(ax, ay, az)
设,为两实数

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  • 时间2021-07-26