量子力学第七章 近似方法.ppt

第七章 近似方法
一、适用条件
求解定态薛定谔方程
比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分
定态非简并微扰 方法
的本征值和本征函数可以求出，则方程（1）就可以通过逐步近似的方法求解。
二. 各级近似方程
1. 引入实参数λ
代入本征值方程：得到
由此方程可见，H的本征值及本征函数都与λ有关。
因此令
我们来求级数形式的解
上面我们称 及 为零级近似能级和波函数。
称 及 为能级及波函数的一级修正。
2. 各级近似方程
将上面级数形式解的表示代入方程
要求等式两边λ的同次幂系数相等可得
零次幂相等得零级近似方程
一次幂相等得一级近似方程
二次幂相等得二级近似方程
………
三、零级近似的解
因 的本征值和本征函数可以全部求出：
微扰论的前提
四. 一级近似
本节讨论能级是无简并的,即零级近似能级与波函数是一一对应的.
方程
1. 一级近似能级
用 左乘上面等式两边再积分
由于H (0)是厄密算符所以等式左边等于零.
在一级近似下能级为
其中能级的一级修正是
2. 一级近似波函数
注意到：若 是一级方程的解，则 （ 为任意数）亦是一级方程的解，换言之，上面展开系数中 不可能由方程确定，它可以是任意的。因此我们规定
。事实上 不同取值只不过相当于改变一个相因子。（见曾谨言p299）
代入一级方程
我们得到
等式两边同时乘 再积分可得到
上式右边第二项等于零， 于是
一级近似下的波函数应为
其中
五. 能级的二级近似
方程
等式二边同时左乘 再积分
左边第一项和右边第一项可以约去,再把
代入上式可以得到
此项等于零
可以得到
因为
因为