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2021高考数学总复习压轴提升卷4(含答案).doc


文档分类:中学教育 | 页数:约3页 举报非法文档有奖
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高考数学总复****压轴提升卷4(含答案)
压轴提升卷(四)
解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
1.(本题满分12分)(2018·陕西省黄陵中学二模)设动圆P(圆心为P)经过定点(0,2),被x轴截得的弦长为4,P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)设不经过坐标原点O的直线l与C交于A、B两点,O在以线段AB为直径的圆上,求证:直线l经过定点,并求出定点坐标.
解:(1)设动圆P圆心为(x,y),半径为r,被x轴截得的弦为|AB|.
依题意得:
化简整理得:x2=4y.
所以,点P的轨迹C的方程x2=4y.
(2)设不经过坐标原点O的直线l的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2)则
解得:x2-4kx-4b=0,x1+x2=4k,x1·x2=-4b
又∵O在以线段AB为直径的圆上,
∴·=0即x1x2+y1y2=0,
又y1=kx1+b,y2=kx2+b.
x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0.
x1x2+k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,
-4b-4k2b+4k2b+b2=0,
b2-4b=0,
b=4或b=0(舍去).
所以直线l经过定点(0,4).
2.(本题满分12分)(2018·淄博市高三诊断)已知函数g(x)=x4,x∈R,在点(1,g(1))处的切线方程记为y=m(x),令f(x)=m(x)-g(x)+3.
(1)设函数f(x)的图象与x轴正半轴相交于P,f(x)在点P处的切线为l,证明:曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方;
(2)关于x的方程f(x)=a(a为正实数)有两个实根x1,x2,求证:|x2-x1|<2-.
证明:(1)g′(x)=4x3,切线斜率k=g′(1)=4,可得m(x)=4x-3,
所以f(x)=4x-x4,f′(x)=4(1-x3),
由f(x)=4x-x4=0,得x=0或x=4,所以点P
由f′(x)=4(1-x3),得:f′(4)=-12,
所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为
y=-12
设φ(x)=-12(x-4),
令F(x)=f(x)-φ(x),即F(x)=4x-x4+12(x-4)
则F′(x)=4-4x3+12=4(4-x3),
所以当x∈时,F′(x)>0,当x∈时,F′(x)<0,
所以F(x)在内单调递增,在(4,+∞)内单调递减,
所以对任意实数x都有F(x)≤F(4)=0,即φ(x)≥f(x).
所以曲线y=f(x)上的点都不在直线l的上方.
(2)解法一:不妨设x1≤x2,设方程φ(x)=a的根为x′2,可得x2′=4-,
显然φ(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以φ(x2)≥f(x2)=a=φ(x2′),可得x2≤x2′.
设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=4

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  • 上传人梦中客
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  • 时间2021-07-25