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2021高考数学总复习培优练习:圆锥曲线综合(含答案).doc


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文档列表 文档介绍
高考数学总复****培优练****圆锥曲线综合(含答案)
培优点十九 圆锥曲线综合
1.直线过定点
例1:已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于,两点,且.
(1)求的方程;
(2)若直线是圆上的点处的切线,点是直线上任一点,过点作椭圆的切线,,切点分别为,,设切线的斜率都存在.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)证明见解析,.
【解析】(1)由已知,设椭圆的方程为,
因为,不妨设点,代入椭圆方程得,
又因为,所以,,所以,,
所以的方程为.
(2)依题设,得直线的方程为,即,
设,,,
由切线的斜率存在,设其方程为,
联立得,,
由相切得,
化简得,即,
因为方程只有一解,所以,所以切线的方程为

即,同理,切线的方程为,
又因为两切线都经过点,所以,所以直线的方程为,
又,所以直线的方程可化为,
即,令,得,
所以直线恒过定点.
2.面积问题
例2:已知椭圆的左、右焦点分别为、,焦距为4,直线与椭圆相交于、两点,关于直线的对称点在椭圆上.斜率为的直线与线段相交于点,与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求四边形面积的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由椭圆焦距为4,设,,连结,设,
则,又,得,,

解得,,所以椭圆方程为.
(2)设直线方程:,、,
由,得,所以,
由(1)知直线:,代入椭圆得,,得,由直线与线段相交于点,得,

而与,知,,
由,得,所以,
四边形面积的取值范围.
3.参数的值与范围
例3:已知抛物线的焦点,点在抛物线上,过焦点的直线交抛物线于,两点.
(1)求抛物线的方程以及的值;
(2)记抛物线的准线与轴交于点,若,,求的值.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)抛物线的焦点,
,则,抛物线方程为;
点在抛物线上,.
(2)依题意,,设,设、,
联立方程,消去,得.
所以 ①,且,
又,则,即,
代入①得,消去得,
,则,,


当,解得,故.
4.弦长类问题
例4:已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点,且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与相交于,两点,与相交于,两点,且,求
的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由题意可知:,又椭圆的上顶点为,
双曲线的渐近线为:,
由点到直线的距离公式有:,∴椭圆方程.
(2)易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,代入,消去并整理得:

要与相交于两点,则应有:,
设,,
则有:,.
又.
又:,所以有:,
,②
将,代入,消去并整理得:,
要有两交点,则.③
由①②③有.
设、.有,,

将代入有.
,令,,
令,.
所以在内恒成立,故函数在内单调递增,
故.
5.存在性问题
例5:已知椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆有两个不同交点,时,能在直线上找到一点,在椭圆上找到一点,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)不存在,见解析.
【解析】(1)设椭圆的焦距为,则,
∵在椭圆上,∴,
∴,,故椭圆的方程为.
(2)假设这样的直线存在,设直线的方程为,
设,,,,的中点为,
由,消去,得,
∴,且,故且,
由,知四边形为平行四边形,
而为线段的中点,因此为线段的中点,
∴,得,
又,可得,∴点不在椭圆上,
故不存在满足题意的直线.
对点增分集训
一、解答题
1.已知动圆过点并且与圆相外切,动圆圆心的轨迹为.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)过点的直线与轨迹交于、两点,设直线,设点,直线交于,求证:直线经过定点.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】(1)由已知,,
轨迹为双曲线的右支,,,,
曲线标准方程.
(2)由对称性可知,直线必过轴的定点,
当直线的斜率不存在时,,,,知直线经过点,
当直线的斜率存在时,不妨设直线,,,
直线,当时,,,
得,,,
下面证明直线经过点,即证,即,
即,由,,
整理得,,即
即证经过点,直线过定点.
2.已知点在椭圆上,设,分别为椭圆的左顶点、下顶点,原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆在第一象限内一点,直线,分别交轴、轴于,两点,求四边形的面积.
【答案】(1);(2)

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