2021高考数学总复习培优练习：圆锥曲线的几何性质（含答案）.doc

高考数学总复****培优练****圆锥曲线的几何性质（含答案）
培优点十七 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆的几何性质
例1：如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得
而，所以，故选B．
2．抛物线的几何性质
例2：已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在直线上的射影为，且直线的斜率为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设准线与轴交于点，所以，因为直线的斜率为，所以，所以，
由抛物线定义知，，且，所以是以4为边长的正三角形，其面积为．故选C．
3．双曲线的几何性质
例3：已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为_________．
【答案】15
【解析】在双曲线中，，，，
，，，
，，．
对点增分集训
一、单选题
1．抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，
很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：，．本题选择C选项．
2．设点，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】据题意，，且，解得，．
又，在中由余弦定理，得．
从而，所以，故选B．
3．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于，两点，设为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆方程为，，，，取一个焦点，则直线方程为，
代入椭圆方程得，，，所以，故选C．
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】设的坐标分别为，，线段中点的横坐标为3，则，
，由此解得．故选B．
5．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的
等边三角形（为原点），可得，，即，，解得，，
双曲线的焦点坐标在轴，所得双曲线的方程为，故选B．
6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行．已知椭圆轨道和的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道和的长半轴长分别为，，半焦距分别为，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆形轨道的半径为，，，
，
由知，故选C．
7．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线，的离心率相同，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【解析】双曲线的离心率为，设，双曲线一条渐近线方程为，
可得，即有，
由，可得，即，又，且，
解得，，，即有双曲线的实轴长为16．故选D．
8．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，
若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得点的坐标为，设点的坐标，点的坐标，
所以向量：，，
由向量线性关系可得：，，解得：，
代入抛物线方程可得：，则，
由两点之间的距离公式可得：．故选D．
9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，
点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆定义，②
又∵，∴，③
，得，④
将④代入③，得，
∴，故选A．
10．已知为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，当时，
称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【解析】抛物线方程为，，，为曲线上三点，
当时，为的重心，
用如下办法构造，连接并延长至，使，
当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，
设，，
则，，，
则，两式相减化为，
，所以总存在以为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，故选D．
11．已知双曲线的左右焦点分别为