高三向量与解几解答题.docx

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高三向量与解几解答题
向量与解析几何结合解答题精选
平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。或者考虑向量运算的
几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
＝（－3，0），＝（3，0），（O为坐标原点），动点M满足：＋＝10。（1）求动点M的轨迹C；（2）若点P、Q是曲线C上任意两点，且·=0，求的值
【解】（1）由＋＝10知：
动点M到两定点F1和F2的距离之和为10
x
Q
P
y
O
根据椭圆的第一定义：动点M的轨迹为椭圆：
（2）∵点P、O是上任意两点
设P()，Q()
（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用）
∵·=0 得：＝0 ①
而、都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：
＝
：过点A（0，1）且方向向量为＝（1，k）的直线l与⊙C：相交与M、N两点。（1）求实数k的取值范围；（2）求证：·为定值；
（3）若O为坐标原点，且·＝12，求k的值。
【解】∵直线l过点A（0，1）且方向向量为＝（1，k）
∴直线l的方程为：y＝kx＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率）
将其代入⊙C：，得：①
由题意：△＝得：
（注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d<R来解）
（2）利用切割线定理可以证明||·||＝||=7,AT为切线，T为切点。
根据向量的运算：·＝||·||·cos00＝7为定值。
（注意：本题也可以设出M（）、N（）的坐标，把、用坐标表示，由①利用韦达定理来证明）
（3）设M（），N（），则由①得：
∴·＝＋＝
＝＝12k＝1（代入①检验符合题意）
：O为坐标原点，点F、T、M、P1满足=(1,0),=(－1，t)，=,
⊥,∥。（1）当t变化时，求点P1的轨迹方程；
（2）若P2是轨迹上不同与P1的另一点，且垂直非零实数λ，使得=λ·
求证：+=1
【解】设P1（x，y），则由：=得M是线段FT的中点，得M
∴＝（－x，－y），
又∵＝－＝（－2，t），＝（－1－x，t－y）
∵⊥ ∴2x＋t(－y)＝0 ①
∵∥ ∴（－1－x）·0＋（t－y）·1＝0化简得：t＝y ②
由①、②得： （注意：①这里用了参数方程的思想求轨迹方程；②也可以利用向量的几何意义，利用抛物线的定义判断轨迹为抛物线，从而求解。）
（2）易知F（1，0）是抛物线的焦点，由=λ·，
得F、P1、P2三点共线，即直线P1P2为过焦点F的弦
设P1（）、P2（）,直线P1P2的方程为：y＝k(x－1)代入得：
则·＝1，＋＝
∴+＝＋＝＝1
（注意：①这里利用抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；②利用了韦达定理进行证明。）
经检验：当斜率k不存在时，结论也成立。
4..已知＝，（O为坐标原点），=1，且与的夹角为600，A、O、B顺时针排列，点E、