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试题 (11).doc

文档分类：研究生考试 | 页数：约2页举报非法文档有奖

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已知k，向量与之间满足关系 .
(Ⅰ) 用k表示；
(Ⅱ) 求的范围；
(Ⅲ) 若f ( k )＝＋在区间(0，2上是减函数，求正实数a的取值范围.
解：（Ⅰ）由已知有，||＝1，||＝1，
而，∴ k2＋1＋2k·＝2（1＋k2－2k·），
∴ 6k·＝1＋k2 ，∴ ·＝. 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，·＝＝(＋k)，
故当k＞0时，·≥；当k＜0时，·≤－.
又∵ －1＝－|·|≤·≤||·||＝1，
∴ ·的取值范围是[－1, －][, 1]. 8分
（Ⅲ）由f (k)＝，得(k)＝－，
要使f ( k )＝＋在区间(0，2上是减函数，则
在上，(k)恒成立 . 10分
又(k)＝－在（0, 2的最大值是－，所以只需－ .
∴ ，即a的取值范围是. 12分
另解（一）：
由f (k)＝，得f ′(k)＝－，令f ′(k)＜0.
∵ a＋1＞0，∴＜k＜，且k≠0.
∴ f (k)的减区间是（－, 0），（0, ）
∴ 要使f (k)在（0, 2）为减函数，则≥2，∴a≥3.
∴ a的取值范围是[3,＋∞].
另解（二）：
由上可知，f (k)＝＋＝，
设0＜k1＜k2≤2，则
f（k1）－f（k2）＝－＝
＝.
∵0＜k1＜k2≤2，∴k1k2＞0，k1－k2＜0，k1k2＜4，
∴当a≥3时，k1k2－a－1＜0，∴ f (k1)－f (k2)＞0，
∴函数y=f (k)在区间为减函数.
而当0＜a＜3时，0＜＜2，f (2)＝f ()＝，故函数f (x)在（0, 2）上不单调，
∴ a的取值范围是

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