第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2.doc

§2 场论初步
场论的基本概念及梯度、散度与旋度
［标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z）对应一个数量值(x，y，z)，它在此空间区域D上就构成一个标量场,用点M（x，y，z）的标函数(x,y，z），则标量可以看作变矢r的函数＝（r)。
例如温度场u（x,y,z）,密度场,电位场e(x,y，z）都是标量场.
[矢量场］ 空间区域D的每点M(x，y，z)对应一个矢量值R（x，y，z），它在此空间区域D上就构成一个矢量场，用点M（x，y,z)的矢量函数R(x,y,z)，则矢量R可以看作变矢r的矢函数R(r)：
R（r）＝X（x，y，z）i＋Y(x，y，z）j＋Z(x,y，z）k
例如流速场 （x，y,z)，电场E（x,y,z）,磁场H（x，y，z）都是矢量场.
与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念,（标量场、矢量场）是为了保留它们的自身起源与物理意义.
[梯度]
grad＝(,,)==i＋j＋k
式中=i＋j＋k称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子。grad有的书刊中记作del.
grad的方向与过点（x，y,z）的等量面＝C的法线方向N重合，并指向增加的一方,是函数变化率最大的方向,它的长度等于.
梯度具有性质：
grad（＋）＝ grad＋grad (、为常数）
grad(）＝ grad＋ grad
gradF（）＝
［方向导数]
＝l·grad＝cos＋cos＋cos
式中l＝(cos，cos,cos)为方向l的单位矢量，，，为其方向角.
方向导数为在方向l上的变化律,它等于梯度在方向l上的投影。
［散度]
divR＝＋＋=·R=div(X , Y , Z）
式中为哈密顿算子。
散度具有性质:
div（a＋b)＝ diva＋divb （、为常数）
div(a）＝div a＋a grad
div（a×b)＝b·rot a－a·rotb
[旋度]
rotR＝（)i＋(）j＋()k=×R=
式中为哈密顿算子，旋度也称涡度，rot R有的书刊中记作curl R。
旋度具有性质：
rot（a＋b)＝ rot a＋rot b （、为常数)
rot(a)＝rot a＋a×grad
rot（a×b）＝（b·）a－（a·)b＋（div b）a－(div a)b
[梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad，运算div作用到一个矢量场 R产生标量场div R，运算rot作用到一个矢量场R产生新的矢量场
rot R。这三种运算的混合运算公式如下：
div rot R＝０
rot grad＝０
div grad＝ ＋＋=
grad div R＝（R)
rot rot R＝×（×R)
div grad(+)= div grad+div grad （、为常数)
div grad（)=div grad＋div grad ＋２grad·grad
grad div R－rot rot R＝R
式中 为哈密顿算子