全国高中数学联赛预赛试卷.doc

该【全国高中数学联赛预赛试卷 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【全国高中数学联赛预赛试卷 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。全国高中数学联赛江西省预赛试卷答案及评分标准 考生注意:1、本试卷共三大题(15个小题),全卷满分150分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 选择题(本题满分36分,每小题6分) 本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分. ,且都有反函数,则函数的反函数是() 答:C. 解:由依次得,互易得. :当时,有,对于两个函数, 以下关系中成立的是() 答:D. 解:. ,取, 则. 中,则比式等于 答: 解:如图易知, , 因此选 , 若,则的值是(). 答:. 解:由以及得, ,右焦点,右顶点,右准线与轴的交点依次为,则的最大值为(). 不能确定. 答:. 解:.(时取等号) () 答:. 解:的定义域为则,令,则 因,则. 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上. ,则. 答:. 解:由条件得, 则. ,并且每个奇数连续出现次,,如果这个数列的通项公式为则答:. 解:由,即当时, ,所以,于是, ,满足,则的最大值为. 答:. 解:设,则 ,(当时取等号). ,则集中元素个数的最大值为. 答:. 解:从中每次取一对作乘积,共得个值,但其中有重复,重复的情况为,共种,因此集合中至多有个数. ,共得条线段,在这些线段中,相互成异面直线的“线段对”有个. 答:个“线段对”. 解:任取一条中位线考虑,所在的侧面没有与异面的线段;含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面;含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面;不含的侧面恰有两条中位线与异面;因此与异面的中位线共有条,即含有线段的异面“线段对”共有个,于是得异面“线段对”个,(其中有重复). 但每一个异面“线段对”中有两条线段,故恰被计算了两次,因此得个异面“线段对”. “五角星”的五个顶点染色,(每点染一色,有的颜色也可以不用)使每条线段上的两个顶点皆不同色,则不同的染色方法有种. 答:种. 解:将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色,使邻格不同色的染色问题。设有个扇形格的圆盘染五色的方法数为,则有,于是 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) ,证明: 证:对归纳,时显然成立等号;设时结论对于任意个正数成立, 当时,对于任意个正数,据假设有,…5分所以 只要证, …平方整理,只要证, ……10分由柯西不等式 ……………15分即所以即成立,,所证不等式成立. ………………………………,是的中点,、、分别是边上的点,且△的外接圆交线段于若点满足: 证明: 证明:在圆中,由于弦故圆周角,因此, 、、、与、、、分别共圆,于是…………………5分设点在边上的射影分别为、、,则△∽△∽△,故由得, 设△的内心为今证四点共圆: 连因分别共圆, 则, 又由,,所以△∽△ 因此而所以因为故得,因此、、、四点共圆,于是……………10分延长AM交的外接圆于则AO为该外接圆的直径,于是且因此,点O是所在圆的圆心,从而为⊙O的切线. 延长AD交⊙O于T,则∽,所以,又由∽,得,因故...②………………………15分延长到,使,则为平行四边形, ...③由②得... 由③、得∽所以,,即BPM=CPD.…………………20分 :,(其中表示的整数部分,),试求的值. 解:观察数列开初的一些项: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8 1 2 3 4 6 8 10 13 16 20 24 28 33 38 44 50 57 64 72 80 88 我们注意到,数列严格单增,每个正整数,顺次在数列中出现,并且除了首项之外,每个形如的数连续出现三次,其它数各连续出现两次.…5分一般地,我们可证明数列的以下性质: 若记,则, 若记则当时,有…,,即在时,,则 再对满足的归纳: 当时,由于,则, 因为,则设当时,均有,则当时,因为 …则, 即有,所以由于所以故由归纳法,当时, 特别是,当时,上式成为又由,当,有 所以由可知,对于当时,亦有,从而性质成立.…………………15分因为,取,则,, 因此.…………………20分