考研微分方程知识归纳.doc

该【考研微分方程知识归纳 】是由【朱老师】上传分享，文档一共【11】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【考研微分方程知识归纳 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。1微分方程局部重点内容1、变量可别离的微分方程〔1〕形式或〔2〕通解或2、齐次方程〔1〕形式或〔2〕通解〔令,那么,〕或〔令,那么,〕3、一阶线性微分方程〔1〕形式〔2〕通解4、可降阶的高阶微分方程〔1〕,其中为函数积分次可得其通解〔2〕〔不显含〕令,那么。于是,原方程可化为〔一阶〕①设①的通解为,即〔一阶〕②由②可得通解〔3〕〔不显含〕2令,那么。于是,原方程可化为〔一阶〕①设①的通解为,即〔一阶〕②由②可得通解5、二阶线性微分方程〔1〕形式非齐次〔1〕齐次〔2〕〔2〕解的结构定理1假设为〔2〕的两个解,那么为〔2〕的解。定理2假设为〔2〕的两个线性无关的解,那么为〔2〕的通解。线性无关常数。定理3假设为〔1〕的两个解,那么为〔2〕的解。定理4假设为〔2〕的解,为〔1〕的解,那么为〔1〕的解。定理5假设为〔2〕的通解,为〔1〕的一个特解解,那么〔1〕通解为6、二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程〔为常数〕的通解:特征方程的判别式〔,有两相异实根〕3〔,有两相等实根〕〔,有一对共轭复根〕二阶常系数非齐次线性微分方程〔为常数,为函数,称为自由项〕特解的表示:〔1〕假设〔其中为次多项式〕,那么可设特解其中为〔系数待定的〕次多项式,注意当即时,也要考虑其是否为特征根!〔2〕假设或,那么可设特解其中为〔待定〕常数,〔3〕假设,且为的特解,为的特解,那么为的特解〔特解的可叠加性〕。7、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程〔1〕三阶特征方程①三个相异实根时的通解4②两个为二重实根,另一个为单实根时通解③三个为三重实根时的通解④一个为单实根,另两个为共轭复根时的通解〔2〕四阶特征方程①四个相异实根时的通解②两个为二重实根,另两个也为二重实根时的通解③三个为三重实根,另一个为单实根时通解④四个为四重实根时通解⑤两个为二重实根,另两个为相异实根时的通解⑥两个为二重实根,另两个为共轭复根时的通解⑦两个为相异实根,另两个为共轭复根时的通解5例题选讲例1二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为。〔2024数学二〕解特征方程特征根余函数设特解,代入非齐次方程可得得通解例2求微分方程满足初始条件的特解。〔2024数学二〕解〔可降阶,不显含〕令,那么。于是,原方程可化为变形为〔将作为的函数,这点很关键!!!〕那么即由,得,那么有,又由知,应取解得7由,得故方程满足初始条件的特解为例3在以下微分方程中,以为通解的微分方程是〔〕A、B、C、D、〔2024数学二〕解特征根为特征方程为,故应选D。例4设是区间上具有连续导数的单调增加函数,且。对任意,直线,曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体,假设该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数的表达式。〔2024数学二〕解由题设,有〔旋转体侧面面积公式,要记住!〕即方程两边对求导,得解得,由,得。所以,或。例5设非负函数满足微分方程,当曲线过原点时,其与直线7及所围成平面区域的面积为2,求绕轴旋转所得旋转体体积。〔2024数学二〕解将微分方程变形为〔不显含〕〔1〕注意到方程〔1〕为关于及的一阶线性微分方程,那么于是,有由过原点,得,那么。又由,得,从而所求函数为于是。注意1用公式要简便得多!〔〕注意2可降阶的高阶微分方程07年也考到,07、09都为〔不显含〕型。例6三阶常系数齐次线性微分方程的通解为。〔2024数学二〕解特征方程为因式分解得特征根为8通解为注意与08年类似。例7设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导数,且。,求函数。〔2024数学二〕解又,那么变形为〔这是关于及的一阶线性微分方程〕那么由,得,那么于是由,得,所以有9注意1一阶线性微分方程是考试重点注意2由参数方程所确定的函数的导数也是考试的重点其中公式可与曲率公式联系起来记。例8微分方程的特解的形式为〔〕A、B、C、D、〔2024数学二〕解特征方程为特征为〔单根〕的特解可设为,的特解可设为于是,应选C。注意特解的可叠加性例9微分方程满足条件的解。〔2024数学二〕解由,得,那么满足条件的解10注意1应检验是否为的解注意2进一步说明:一阶线性微分方程是考试重点例10设函数具有二阶导数,且曲线与直线相切于原点,记为曲线在点外切线的倾角,假设,求的表达式。〔2024数学二〕解由,有,从而又由,得即〔不显含〕令,那么,从而有即〔此为关于的可别离变量的微分方程〕解得或即由,得,。于是〔此为可别离变量的微分方程〕解得