2023优质024学年四川省巴中市高三“一诊”考试数学(理)试题(附答案)4368.pdf

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比的等比数列a?1?2n(2)由(1)?a?2n?1?2n?1n?1n,当且仅当时取等号111?b???na2n?12n??1112n1?S?b?b???b?1???????2??2n12n2222n?112n?11?2S?,FAB,BC△△AED,,正方形中,分别是的中点,将分别沿DE,DFA,CPH?BD折起,使两点重合于点P,过P作,:..(1)证明:PH?平面BFDE;(2)求PB与平面PED所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析3(2)3.【分析】(1)线面垂直判定证PD?平面PEF,由正方形性质、线面垂直的性质得EF?BD、EF?BD,进而有EF?平面PBD,法一:再应用线面垂直的性质得EF?PH,最后由线面垂直判定证结论;法二:由面面垂直的判定得平面BFDE?平面PBD,最后由面面垂直的性质证结论;PD,PE,PFPBPED(2)法一:证两两垂直并构建空间直角坐标系,求的方向向量与平面的法向量,应用向量夹角的坐标表示求正弦值;法二:由线面角的定义及PF?平面PDE,确BF,BEBFDE定线面角的平面角,进而求其正弦值;法三:以B原点,及过B平面的垂线分x,y,zPED别为轴建立空间直角坐标系,求PB的方向向量与平面的法向量,应用向量夹角的坐标表示求正弦值;ABCD、AC?BD【详解】(1)证明:在正方形中,连接ACBD,则,连接EF,由已知EF//AC,则EF?BD,PD?PE,PD?PF,PE?PF?PPE,PF?PEF由折叠的性质知,面,?PD?平面PEF,又EF?平面PEF,故PD?EF.?PD?BD?DPD,BD?,平面PBD,?EF?平面PBD,法一:PH?平面PBD,故EF?PH,?PH?BD,EF,BD?BFDEEFBD平面,且与相交,?PH?:EF?平面BFDE,故平面BFDE?平面PBD,11/20:..?PH?BFDE?PBD?BD,PH?BD平面PBD,平面平面,?PH??2,PE?PF?1,EF?2(2)法一:不妨设正方形的边长为2,由已知得,PE2?PF2?EF2PE?PFPD?PE,PD?PFPD,PE,PF则,即,而,故两两垂直,PD,PE,PFx,y,z以P为原点,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,????P?0,0,0?,D?0,2,0?,E?1,0,0?,F?0,0,1?PF??0,0,1?则,且平面PED的一个法向量为.?????????11?11?11??121?Q?,0,?QB?DQ??,?2,???,?,?EF?BD?Q?22?33?22??636?设,则,且.?????????????11??121??222??PB?PQ?QB??,0,???,?,???,?,??22??636??333?.????????2????????PB?PF33sin??cosPB,PF???????????PB?PF233PBPED?3设与平面所成角为,则,3??BD?Q,PB?法二:设正方形的边长为2,与平面PED所成角为,PD?2,PE?PF?1,EF?2PE2?PF2?EF2PE?PF由已知得,则,即,2PQ?BQ?所以2,12/20:..PD?PFPD?PE?PPD,PE?PDEPF?PDE又,,平面,故平面,PB2?PF2?BF2PB?sin??cos?FPB??2PB??2,DQ?,PQ??PDQ22在直角中,,PQ11?cos?PQD??cos?PQB??cos?PQD??DQ33,故,23PB?BQ2?PQ2?2PQ?DQcos?PQB?VBPQ3在中,,33?sin??3,,BEBFDEx,y,z法三:以B原点,及过B平面的垂线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,ABCDEF?BD?Q?不妨设正方形的边长为2,,PB与平面PED所成角为,?11?F?1,0,0?,E?0,1,0?,D?2,2,0?,Q,0,???22?则,PD?2,PE?PF?1,EF?2PE2?PF2?EF2PE?PF由已知得:,则,即,PD?PFPD?PE?PPD,PE?PDEPF?PDE又,,面,故平面,?????FP为平面PED的一个法向量,322PD?2,DQ?,PQ??PDQ22在直角中,,PD?PQ2PQ2222?PH??,HQ??BH?DQ3DQ63,则,?222?P?,,?PH?BFDEP?333?由(1)知平面,故点的坐标为,?????????222??122??BP??,,?,FP???,,??333??333?,13/20:..????????244????????BP?FP???9993?sin??cosBP,FP???????????BP?FP2333,3?:??1(a?b?0)1a2b2F,?右焦点分别为12,左顶点为,离心率为2,FA,B?FAB经过1的直线交椭圆于两点,2的周长为8.(1)求椭圆C的方程;CM,NS(2)过直线x?4上一点P作椭圆的两条切线,切点分别为,求???C:??1??x,y22Cx,y说明:若点00在椭圆ab上,则椭圆在点00处的切线方程为xxyy0?0???1【正确答案】(1)439(2)【分析】(1)由三角形的面积可得的值,再由离心率可得的值,进而求出平方的值,即求出椭圆的方程;(2)设切点M,N的坐标,可得椭圆在M,N处的切线方程,将P的坐标代入切线方程中,确定直线MN的方程,与椭圆的方程联立,可得两根之和及两根之积,进而求出M,N的纵坐标之差的绝对值,代入三角形的面积公式,换元,由函数的单调性,可得三角形面积的最大值.?FAB4a?8a?2【详解】(1)由椭圆的定义及2的周长为8得:,解得b2b2?1?211??1????a24?2?b2?3由离心率为2得:,??1?椭圆C的方程为43D??2,0?,F?1,0?P?4,t?,M?x,y?,N?x,y?(2)由(1)知2,设1122,则xxyy1?1?1以M为切点的椭圆C的切线方程为43xxyy2?2?:..4xyt4xty1?1?12?2?1又两切线均过点P,故43,且433x?yt?3?03x?yt?3?0整理化简得11,?x,y?,N?x,y?3x?ty?3?0?点1122均在直线上F?1,0??MN3x?ty?3?0MN直线的方程为,且直线过定点2.?3x?ty?3?0??t2?12?y2?6ty?27?03x2?4y2?12?0由?消去x得:Δ?(?6t)2?4?t2?12???27??144?t2?9??0,yy?0于是1212t2?9y?y?12t2?12由求根公式得:9d?DMNd9?t2设点到直线的距离为,?9?S?MNd???1?y?y?y?y??DMN22921221t212t2?9?.18t2?918mS??t2?9?m?DMNt2?12m2?3m?3令,则,且?2?183?m18mf??m???0f?m??,m?3??23?m2设m2?3,?f(m)?f?3??f?m?3,????max2函数在是减函数,从而9?S2??x??ex?bx?2b,g?x??ax2?x?1(a?0)?x??g?x?f?x?h?x?(1)当b?0时,设,求函数的单调区间;?x?x?f??12??0f?x?x,x?2?(2)若函数有两个零点12,证明.【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析111???????xa??a????a?0hx?ax?1x?2e【分析】(1)求导得,讨论2、2、2研究导函数15/20:..h?x?的符号确定的单调区间;f??x??ex?b,x?Rf?x?(2)由题设,讨论b?0、b?0,结合零点存在性定理判断有两个x?lnb?x?x?2lnb?lnb零点和b的范围,法一:设12,得2,构造F?x??f?x??f??x?2lnb?(x?lnb)f?x?,f??x?2lnb?研究单调性判断22大小,得到f?x?,f??x?2lnb?f?x?x??x?2lnbf??x?12的大小,结合单调性得到12,最后由单调性得结x?x12?lnbx?lnb?x2论;法二:设12,应用分析法将问题转化为证明,结合零点得到?x?2???x?2??x?2???x?2?21?1?x?2??x?2??21ln?x?2??ln?x?2?12ln?x?2??ln?x?2?21,根据对数均值不等式证21,?x??g?x?f?x???ax2?x?1?ex???????xb?0hx?ax?1x?2e【详解】(1)当时,,则,1??x?0h?x?0x??2又a<,由,得或a,111??2a??h??x???(x?2)2ex?0①当a,即2时,2恒成立,?h?x????,???的减区间为,无增区间;1111??2??a?0x????x??2h??x??0h?x?0②当a,即2时,有a或x??2;有a;?1??1???,,??2,???,?2?h?x??????a??a?的减区间为,增区间为;1111??2a????x????2?x?h?x?0?h?x?0a③当a,即2时,有x<2或a;有;?1??1????,?2?,,???2,?h?x??????a??a?的减区间为,增区间为;1a??????2hx??,??综上:当时,的减区间为,无增区间;1?1??1???a?0??,,??2,???,?2h?x?????2?a??a?当时,的减区间为,增区间为;1?1??1?a?????,?2?,,???2,h?x?????2?a??a?当时,的减区间为,?x??ex?bx?2bf??x??ex?b,x?R(2)由,得,f￠(x)>0f?x?当b?0时,恒成立,在R上是增函数,至多一个零点,不合题意;16/20:..f??x??0当b?0时,由,得x?lnb,f??x??0,f?x?f??x??0,f?x?若x?lnb,则是减函数;若x?lnb,则是增函数;?f(x)?f?lnb???b?1?lnb?min,1???b?1?lnb??0b?fxx,x由函数有两个零点,得,解得e,则?2?lnb?2b,12(2b)2f??2??e?2?0,f?2b??e2b?2b2?2b?1?2b??2b2?2b?1?0又2,1b???efxx,x?当时,函数有两个零点,12x?lnb?xf?x??f?x??0?x?2lnb?lnb法一:设12,则12,且2,F?x??f?x??f??x?2lnb?(x?lnb)F?x??ex?b2e?x?2bx?2blnb设,则,F??x?exb2e?x2b2ex?b2e?x?2b0????????,?F?x??lnb,???F?x??F?lnb??0在上是增函数,故,x?lnbF?x??0f?x??f??x?2lnb??0?当2时,有2,即22成立,?f?x??f??x?2lnb??0f?x??f??x?2lnb?12,即12,f?x????,lnb?x,?x?2lnb?lnbx??x?2lnb由在上是减函数且12,得12,x?x?12?lnb2,1b????x???fx?e?bf?lnb?0当e时,在R上是增函数,且,?x?x??f??12??0?2?.x?lnb?xf??x?法二:不妨设12,又在R上单调递增,?x?x?x?xf??12??012?lnb?2?2要证,只需证,f?x?f?x??f?x??0ex?b?x?2?,ex?b?x?2?x,x12又12是的零点,故12,即12,?x?lnb?ln?x?2?x?lnb?ln?x?2?x?x?ln?x?2??ln?x?2?11①,22②,则2121,?x?2???x?2??21?1ln?x?2??ln?x?2?21,17/20:..?x?2???x?2??x?2??x?2??2112ln?x?2??ln?x?2?下证对数均值不等式:21,m?1mn?m?nnmmn?lnm?x?2,n?x?2lnm?lnnn令12,且m、n均大于0,则等价于,mt1t1t??(0,1)lnt???0h(t)?lnt??n22t22tt?(0,1)若,则,令且,111(t?1)2h?(t)??????0t22t22t2h(t)(0,1)所以,故在上递减,t1m?nlnt???0mn?h(t)?h(1)?022tlnm?lnn所以恒成立,故,即成立,?x?2???x?2??x?2??x?2??21?112ln?x?2??ln?x?2??x?2??x?2??1所以21,故12,x?xx?x12?lnb?ln?x?2??x?2?12?lnb2122①+②,得,故,:第二问,法一应用极值点偏移构造对应函数F?x??f?x??f??x?2lnb?(x?lnb)f?x??f?x?f??x?2lnb?,研究其单调性并确定12与2的x?x12?lnb大小;法