2023-2024学年安徽省高一下学期春季联赛数学模拟试题(含解析).pdf

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3由锥体体积公式可得,F?DEC3VDEC32222423a3?V?a3则较大部分体积为,F?DEC24所以平面DEF将正方体截成的两部分的体积之比为23:1,:AD【选考北师大版】,他随机抽取了n株此类作物,测得它们:..?30,40??40,50??50,60??60,70?生长1年之后的高度(单位:cm),将收集到的数据按照,,,,?70,80??80,90??90,100?,,分组,画出频率分布直方图,已知随机抽取的植物生长1年之后高度低于60cm的有20株,则以下结论中正确的是()??70,90?【正确答案】AD【分析】先由频率求得n,再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果.【详解】对于A,植物生长1年之后高度低于60cm的频率为(??)?10?,所以n??20,解得n?;m?,设这组数据的第80百分位数为m,则?,?;90?,由众数的定义知,;?70,90?(?)?10?,此次检测植物生长高度在之间的频率为,?70,90??100?:ADf?x?f?x?,且1?A,若函数的图象绕原点逆时针旋转30?f?1?后与原图象重合,则的值不可能是()【正确答案】C:..π【分析】问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合,【详解】由题意得到,问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一6个点会重合,我们可以通过代入和赋值的方法,3ππf?1??3,,0,,0x?0x?1y当时,此时得到的圆心角为,然而此时或者时,都有2个与336之对应,xy而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个,3πx?,?x?g?x?f?2?x??f?x??0f?1?x??g?x??,的定义域均为R,且满足,,f?x??g?x?3??3,则()f?x?g?x??1??f?2??????f?20??60g?1??g?2??????g?20??.【正确答案】BDf?2?x??f?x??0f(x)(1,0)f?1?x??g?x??3【分析】对于A,由得出的对称中心为,再由和f?x??g?x?3??3f(x)f(x)y得出关于x?2对称,则关于轴对称,为偶函数,判断出A;对于B,f?2?x??f?x??0f(x?3)?f(1?x)f(x)g?x??3?f?1?x?由和,得出的周期为4,再根据,g?x?f(x)f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0即可得出的周期;对于C,由的周期性和奇偶性,求出,g?x??3?f?1?x?g(x)即可判断C;对于D,根据和的周期即可判断D.【详解】对于A:f?2?x??f?x??0因为,所以f(x)的对称中心为(1,0),f?x??g?x?3??3因为,:..f?x?3??g?x??3所以,f?1?x??g?x??3又,所以f(x?3)?f(1?x),则f(x)关于x?2对称,结合f(x)的对称中心为(1,0),f(x)yf(x)所以关于轴对称,即为偶函数,故A错误;对于B:f?2?x??f?x??0因为,f?1?x??f?1?x??0所以,又f(x?3)?f(1?x),所以f(x?3)??f(x?1),即f(x?2)??f(x),所以f(x?4)??f(x?2)??[?f(x)]?f(x),即f(x)的周期为4,g?x??3?f?1?x?又,所以g(x)的周期也为4,故B正确;对于C:由f(x)对称中心为(1,0),得f(1)?0,又因为f(x)对称轴为x?2,所以f(3)?0,所以f(x)关于(3,0)对称中心,所以(2,f(2))和(4,f(4))关于点(3,0)对称,所以f(2)?f(4)?0,所以f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0,f?1??f?2??????f?20??0所以,故C错误;对于D:由C得f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0,g?x??3?f?1?x?因为,所以g(1)?3?f(0),g(2)?3?f(?1)?3?f(1),g(3)?3?f(2),g(4)?3?f(3),所以g(1)?g(2)?g(3)?g(4)?3?f(0)?3?f(1)?3?f(2)?3?f(3):..?12?[f(0)?f(1)?f(2)?f(3)]?12,又因为g(x)的周期为4,g?1??g?2??????g?20??5?[g(1)?g(2)?g(3)?g(4)]?60所以,故D正确,故选:(ax?b)f(x)(b,0)f(ax?b)方法点睛:①若函数是奇函数,则函数的图像关于点对称;②若函数是偶函数,则函数f(x)的图像关于直线x?b对称;③若函数f(x)是奇函数,则函数f(ax?b)(a?0)b的图像关于点(?,0)对称;④若函数f(x)是偶函数,则函数f(ax?b)(a?0)的图像关于直线abx??对称;⑤若函数f(x)的图像既有对称轴又有对称中心,则对称轴关于对称中心对称的直线a仍是函数f(x)图像的对称轴,对称中心关于对称轴对称的点仍是函数f(x)图像的对称中心;⑥若函数f(x)的图像关于点(m,n)对称,且函数f(x)在x?m时有意义,则有f(m)?n;⑦若函数f(x)的图像具有双对称性,则函数f(x)为周期函数;若f(x)的图像关于直线x?a,x?b对称,则函数f(x)是以2a?b为周期的周期函数;若f(x)的图像关于点(a,c)和(b,c)对称,则函数f(x)是以2a?b为f(x)x?a(b,c)f(x)4a?b周期的周期函数;若的图像关于直线对称,又关于点对称,则函数是以T为周期的周期函数;⑧若函数f(x)的周期为T,则函数f(ax?b)(a?0)Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)??(x)?logx2?3a?x是奇函数,【正确答案】3【分析】易知函数是定义在R上的函数,直接利用奇函数定义建立方程可以求出a.【详解】因为x2?3a?x2?x?x,即x2?3a?x?0在R上恒成立,??f(x)?logx2?3a?x的定义域为R,所以函数a??f(x)?logx2?3a?x是奇函数,又函数a????f(x)?f(?x)?logx2?3a?x?logx2?3a?x?log?x2?3a?x2??log3a?0所以,aaaa:..1则3a?1,所以a?.,是民族文化的一个组成部分,与竹文化、道教文化有着密切关系,历来中国有“制扇王国”,其平面图如图2所示,在扇形中,已知?AOB?120?,OA?6,OC?2,则扇面(曲边四边形ABCD)##π【正确答案】33【分析】将圆心角化为弧度,????62???22?【详解】因为,所以,?,b满足ln?2a?2b?4,则???26【正确答案】2【分析】根据式子结构特征构造函数,利用函数的单调性得到a?b?2,?bln?2a?2b?4ln(2?b)?2(2?b)?lna?2a【详解】因为正数a,b满足,所以,a1设f(x)?lnx?2x,则f?(x)??2?0,所以函数f(x)?lnx?2x在(0,??)上单调递增,x因为f(2?b)?f(a),所以2?b?a,即a?b?2,12212a?b2312312b3a所以????????(?)(a?b)?(5??)ababababab2ab2ab?2b3a12b3a526??a?26?4????(5?2?)?,当且仅当?ab即?时,等号成立,2ab2b?6?26?a?b?2?????:..5?26故2y?f?x?f?a?f?c?,x?A,对任意的a,b,c?A,都存在以,f(b),为三边?3x?m,0?x??2?f(x)?的三角形,?是三角形函数,则实数m13?x?,?x?3????x?【正确答案】(,)422f(x)?f(x)求m的取值范围,然后分类讨论函数f(x)【分析】根据题意,将问题转化为满足minmax2f(x)?f(x),根据minmax330?x?时,f(x)?[m,m?];【详解】当223111当?x?3时,f(x)?x?1??1,令t?x?1,则g(t)?t??1,t?(,2],2x?1t21由对勾函数性质可知,g(t)在(,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,21777又g(1)?3,g()?g(2)?,所以g(t)?[3,],即f(x)?[3,].2222????????f(b)f?c?不妨设fa?fb?fc,则对任意的a,b,c?A,都存在以fa,,为三边c?Af?a??f?b??f?c?2f(x)?f(x).的三角形,等价于对任意的a,b,,都有,等价于minmax?37?m??777220?m?22m?,即m?,所以?m?2;当?,即时,244?m?0??37?m??33当22,即2?m?3时,2m?m?,即m?,所以2?m?3;?22?m?3??37?m??399当?22,即m?3时,6?m?,即m?,所以3?m?.222?m?3?79综上,实数m的取值范围为(,).42:..79故(,)42四、解答题(本题共6小题,其中第19题为选考题,、证明过程或演算步骤.)??????????,斜坐标系xOy中,eexyee,分别是与轴,轴正方向同向的单位向量,且,的夹角1212?????????60?OP?xe?yexOy?x,y?xOy为,定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对,在斜坐标系中12完成下列问题:?????????????OPOP?2,3??3,4?PP(1)若向量,的坐标分别为,,计算的大小;1212???????????????????x,y??x,y?OM//ON(2)已知向量OM的坐标为,向量ON的坐标为,证明:若,则1122xy?xy?【正确答案】(1)3(2)证明见解析?????????????????????【分析】(1)依题意可得OP?2e?3e,OP?3e?4e,即可求出PP,根据数量积的定义求出11221212?????e?e,最后根据数量积的运算律计算可得;12?????????????????????????????(2)依题意OM?xe?ye,ON?xe?ye,分ON?0和ON?0两种情况讨论,解得平11122122面向量基本定理及共线定理证明即可.【小问1详解】????????OPOP?2,3??3,4?因为向量,的坐标分别为,,12????????????????所以OP?2e?3e,OP?3e?4e,112212??????????????????????????????PP?OP?OP?3e?4e?2e?3e?e?e所以,1221121212???????????????1e?e?1,e?e?e?ecos60??又,1212122:..??????????????????????222所以PP?e?e?e?2e?e?e12121122??????????122?e?2e?e?e?12?2??12?【小问2详解】???????????????????因为OM?xe?ye,ON?xe?ye,11122122??????????ON?xe?ye?0x?y?0,显然xy?xy?0;当时2122221221??????????ON?xe?ye?0xy至少有一个不为0,不妨设y?0,当时,即、2122222???????????????????????????????OM//ON?OM??ONxe?ye?xe?ye若,则存在实数使得,即,11122122????????????x??x?e??y??y?e?0ee所以,因为,不共线,12112212?x??x?0yy12??1x??x?0可得x?1x?0xy?xy?0,所以?,由代入12,即y??y?0y12y1221?1222?????????OM//ONxy?xy?0;综上可得若,则1221?π??π3π?(x)?2sin(?x??)??0,???,f?0???2??在区间??上单调,满足,对任288?????3π?x?Rf?x??,都有???8?f?x?(1)求的解析式;?π?g?x??f?x?cos2xg?x?0,(2)设,求在??上单调递增区间.?2??π?f?x??2sin2x?【正确答案】(1)??4???3π??7ππ?0,,(2)??和???16??162??3π?f?0???2??f?2?【分析】(1)由求出,再根据函数的单调性求出的范围,由??求出的?8?值,即可得解;(2)利用两角差的正弦公式、二倍角公式将函数化简,再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】:..?π?f(x)?2sin(?x??)??0,??f?0???2因为??且,2??2πf?0??2sin???2sin????所以,即??,所以,24?π3π?π?π?π3π????????f?x??,?8