高等数学极限习题100道.docx

该【高等数学极限习题100道 】是由【guoxiachuanyue009】上传分享，文档一共【35】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高等数学极限习题100道 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。设limf(x)=A,求证:lim|f(x)|=|A|.求数列的极限lim(sin、;n+1-sinpn)x€x0x€x0n€?设lim叽x)=u,且叽x)丰u,又limf(u)=Ax€x000u€u0试证:limfLp(x)J=Ax€x设f(x)=x-1In]x|试确定实数a,b之值,使得:当x€a时,f(x)为无穷小;当x€b时,f(x)为无穷大。设f(x)=亠,问:当x趋于何值时,f(x)为无穷小。xtan—2若limf(x)=A,limg(x)=B,且B>Ax€x0x€x0证明::存在点x的某去心邻域,使得在该邻域内g(x)>f(x).0设limf(x)=A,试证明:x€x0对任意给定的<>0,必存在正数5,使得对适含不等式0<lx-x110|<5;0<|x'-x20|<8的一切x、x,都有If(x)-f(x)1<<成立。121211已知:limf(x)=A>0,试用极限定义证明:若数列殘I与{y同发散,试问数列(x+ynnnlimf(x)=、?x2n-1sin—x+cos(a+bx)设/(x)=lim2—n€?x2n+1(其中a、b为常数,0<a<2—),(1)求/(x)的表达式;⑵确定a,b之值,使limf(x)=f(1),x€11的表达式求f(x)=limlimf(x)=f(-1).x€-1求/(x)=lim的表达式求/(x)=limxn+2+x,n,1n€?1+(lnx2)2n+1n€?xn+x,n设q(x)=x2—3x+3,f(x)=1+q(x)+q2(x)+qn(x),求/(x)=limf(x).nnn€?xxxx+++???+—1+x2(1+x2)2(1+x2)n,(x)=limn€?=-上)!,€?k=1kx(1—x)x2(1—x)2xn(1—x)n—++?+222求f(x)=limx(1+':x.\+*x+1的表达式,其中x<(x)€lim1+2n的表达式。nT8(1+￡x)n+1求数列的极限lim力"+2(—b)"nT83an+1+2(,b)n+1求数列的极限lim553"+33(,2)".求数列的极限lim(!+3+-+???+nT83nntX2432n求数列的极限lim(1+2q+3q2+?…+nqn-1),其中q|<?(其中a〉b〉0).求数列的极限limns++??+a(a+1)(a+2)(a+1)(a+2)(a+3)(a+n一1)(a+n)(a+n+1)其中a〉++€■+1-33-5(2n—1)(2n+1)1111+++?…+——1-22-33-4n(n+1)求数列的极限lim竺L+22+32+???+(n-1)2'(其中a〉0)nsn31n+2求数列的极限limns求数列的极限limns求数列的极限limns求数列的极限limns求数列的极限lim—ns2+an(1+2+3+.…+(n-1)-罟+2—、:n+1)._4n+5-(n-1)4i:n4+3n3一6一(n一1)(n+1)?(其中a|“1).求数列的极限lim(1—丄)(1—丄)?…(1—丄).ns2232求数列的极限lim'加+a—6-1.(a〉o,b〉0且b“2)ns\in+b—弋n+2若在x的某邻域内f(x)〉g(x),且limf(x)=A,limg(x)=B?0xT*0xT*0试判定是否可得:A〉B?若lim?(x)€0,lim■”打=b“0,则lim?(x)”(x)=0是否成立?为什么?xTx0xTx0xTx0n2、€1确定a,b之值,使lim3x2+4x+7-(ax+b)丄0,x,+?并在确定好a,b后求极限limx“3x2+4x+7-(ax+b)」x,+?(10x-1)(11x-1)求极限limx€x2+2x+5—(x+1)4求极限lim&4x2-8x+5+2x+1).x,+?x,一?求极限lim(x一1)(2x一1)(3x一1)(4x一1)((x+1)2+(2x+1)2+(3x+1)2+…+(10x+1)2x,?x,?(2x+3)3(3x+2)2(5x3-3)3-25求极限lim(x+1)(22x2+1)(32x2+1)(42x2+1)(52x2+1)x,?求极限lim(a>0,a丰1).axx,+?1+a2x确定a,b之值,使当x?时,f(x)=vx2-4x+5-(ax+b)-am(m,n为自然数).x,axn-an设f(x)二2ax2-(a-2)x-1ax2…(a2…1)x…a问:(1)当a为何值时,limf(x)=?;x-11当a为何值时,limf(x)=-;x,12当a为何值时,limf(x)>0,并求出此极限值。x,丄2求极限lim"+tanxf血x+-tana(0<a<A)x,0x3xx-a2求极限lim1+Sinx一C0Sx(p为常数,p丰0).x,01+sinpx…cospx求数列的极限lim(arctann+1-fn2+,?n4设f(x)是定义在L,b上的单调增函数,xe(a,b),贝U0f(x-0)存在,0f(x+0)存在,0f(x-0),f(x00(D)limf(x)存在x,x0但f(x°+0)不一定存在但f(x-0)不一定存在+0)都存在,而limf(x)不一定存在设x>a>0,且x1n+1答()=ax,证明:limx存在,,?xx=1+n-n+11+xn证明极限limx存在,并求出此极限值。设x=1,―1-n22设x=,,n1,1nnT€1.,,321,3,132,1,―^,(n为正整数)求证:€n1,…,,求证:=卞2,且x=:2,x,证明limx存在,并求出此极限值。1n+1nnnT€设x?0,且x=(x,—)(其中a?0),1n,12nxn证明极限limx存在,€设x=1,x=1+0—011+x01…3…5…(2n-1)x一n2…4…6…(2n)(1)证明:x<^nv'2n,1(2)€100x2+10x+1求极限limxt€x3+++(x施合nx—n+1xn<r<1,(r为定数)证明:limx=€求数列的极限lim(.+—n?寸n2+1Jn2+2求数列的极限limnT€(n,1)2(n,2)2(2n)2_用极限存在的"夹逼准则"证明数列的极限lim丄=*2n1+…).vn2+n设f(x)=sin2x,g(x)=”、xt0设limp(x)=x-x0f‘p(x)'=f(u0)xt0u,limf(u)=f(u),证明:lim00u-u0x-x0求极限lim—xx——(m、n为正整数).xm+xn—2若数列匕}适合n=r(a,a)a一an+1n(0?|r|?1)求证:limanT…设x-an-n!nnna,ra—211一r其中a>0是常数,n为正整数,求极限lim上曲xnnT?…nn-1设xTx时,a(x)与<(x)是等价无穷小0且lima(x)-f(x)=AxTx0证明:lim<(x)-f(x)=AxTx0设limf(x)=A,且A丰0,xTx0试证明必有x的某个去心邻域存在,(x)下述结论:”若当xTx°时,a(x)与<(x)是等价无穷小,则当xTx时,lnl1+a(x)]与lnl1+<(x)]也0是等价无穷小"是否正确?为什么?应用等阶无穷小性质,求极限limarCtan(1+x),arCtan(1,x)xT0x丄求极限lim一-(n为自然数).,a(x)与卩(x)是等价无穷小,0且lim竺=a丰1,lim竺二Od=A,xTx0a(x)xTx0g(x)g(x)证明:limf(x)一卩(x)=,a(x),卩(x)是无穷小0且a(x)一<(x)丰0证明:ea(x)一e<(x)~a(x),<(x).若当x€x时,,(x)与,(x)是等价无穷小,01卩(x)是比,(x)€x时,,(x)一卩(x)与,(x)一卩(x)是01否也是等价无穷小?为什么?