第三章 二维随机变量及其分布.doc

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第三章 ﻩ二维随机变量及其分布
■2009考试内容
多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布
■2009考试要求
理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质,理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度,会求与二维随机变量相关事件的概率。
理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件.
掌握二维均匀分布,了解二维正态分布N(的概率密度,理解其中参数的概率意义.
,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。
本章构架本章的核心内容是离散3分布(联合、边缘和条件);连续3密度(联合、边缘和
条件);(直角分割法、平移法和旋转法)
。
一、二维随机变量(向量)的分布函数
(向量)的分布函数的一般定义
是二维随机变量,对任意实数和,称
为的分布函数,又称联合分布函数。
●具有一维随机变量分布类似的性质。
①;
②对和都是单调非减的,如;
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③对和都是右连续;
④
●几何意义::
、边缘分布律与条件分布律

设的一切可能取值为…,且取各对可能值的概率为 , 则称为联合分布律。
。2 边缘分布律
设事件,根据全概率公式有
所以我们定义:及 分别称为,的边缘分布律
评注已知联合分布,可求出全部边缘分布,

反之则却确定不了,还必须另给条件。
【例1】根据下表求及 和。
X
Y
1
2
3
1
0。1

0
2
0
0

3
0。1

0
55/45
4
0

0
解:

(边缘分布);
(边缘分布).
1。 条件分布律
=1,2…
【例2】 已知的联合分布律表,求条件下的分布律.
X
Y
1
2
3
4
1
2
0
3
0
0
1
解:先求出所有的边缘分布,如上表,于是
1
2
3
4
1。3二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘概率密度与条件概率密度
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。1联合分布函数与联合概率密度
连续型联合分布函数:
区域按照陈氏直角分割法确定。
且有联合概率密度:
1。
评 注二维连续型的两个分量还是连续型,但两个分量都是连续型的随机变量的二维随机变量却不一定是连续型,即可能成为既非连续型,又非离散型。
【例3】已知二维随机变量,求边缘分布概率密度。
解:
由于

令
同理,可见二维正态分布的两个边缘分布仍然是正态分布。
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证明:
同理:
【例4】设,求。
解:因为,
又,
可见正态分布的两个边缘分布仍然是正态分布。
评注 一般地
而且,从上式可以看出,当,即独立或不相关时,两个正态边缘分布和条件分布相同.
评注如何写出条件概率密度、条件分布函数和条件分布率中变量的范围是一个重点.
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是的条件下随机变量的概率密度函数,,书写条件概率密度时,应先书写的范围作为大前提,再书写用表示的的范围作为概率密度函数的定义域,表明此函数是的函数。的范围不能含有,从联合概率密度直接得到;而对应得定义域需使用分割法来确定。
重要例题:
设随机变量的概率密度为。求。
解:绘出取值范围示意图。

二元分布有联合、边缘和条件分布律形式共3种分布函数和3种密度函数,简称:3分3密。
●一般型: 任意的联合分布函数满足
时,称相互独立。
注意,可以证明,这个定义与前面的用事件的概率来定义事件之间的独立性是完全等价的。
★ 二维离散型: 相互独立的充要条件是
★二维连续型: 相互独立的充要条件是
二维连续密度函数具有下列重要结论:
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如果在规则区域,如矩形区间等,具有分离变量形式,即,则一定相互独立。
如中就一定独立。。
如,存在不规则区间,故不独立。
如果上述两个条件规则区域或分离变量形式一个都不满足,则一般不独立。注意
二维正态型随机变量相互独立的充要条件是 相关系数,即不相关。
如果,且相互独立,则

● 设随机向量和及满足
则称与相互独立;此时,与必相互独立;并且,任意函数分布与也相互独立,
●如随机变量相互独立,则随机变量的函数与必相互独立,但
与却不一定独立。.
● 设随机变量相互独立,它们的联合分布函数为,则
●相互独立,如的联合密度函数为,则
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形象记忆掌握法: 这个公式特别有规律,在形式上,只要从中解出代换
中的, 或者从中解出代换中的即可.
具体求法如下:

●4类可加性分布(其余分布不可加)
★相互独立,,则
★相互独立,, 则
但泊松分布不存在线性性,即不再是泊松分布。
★独立,,则
如果不独立,则
★相互独立,,则
模球模型的独立性质
在有若干个红球和黑球的箱中逐次随机取一球,令,则
不管放回与否,和同分布;但放回抽样时和独立,不放回抽样时和不独立。

证明:
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1。6连续型分布的概率密度、边缘密度和条件密度函数的关系
●乘法公式
●全概率公式
●贝叶斯公式
● 二维随机变量的联合分布唯一地确定两个边缘分布、条件分布;,由两个边缘分布可以确定联合分布;若不独立,则由一个边缘分布再加上一个对应的条件分布才能确定联合分布(参看上述乘法公式)。
二、2大二维连续型分布函数(其它的多维分布函数不是考点)
1 二维均匀分布
评注 设服从非矩形区域、圆形区域等上的均匀分布,则两个边缘分布都不是均匀分布,但两个条件分布都是均匀分布.
设服从上的均匀分布,则两个边缘分布和两个条件分布都是对应的一维均匀分布,而且独立。
2 二维正态分布
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评注设二维随机变量,则线性组合仍然是正态分布;但任意两个正态随机变量的线性组合却不一定是正态分布;两个边缘分布都是正态分布的二维随机变量也不一定是正态分布。
三、6大二维函数的分布函数及其模型(简称函数分布)
1备用模型—

直接计算的分布律。
【例5】
1
2
1
1
2
求和.
解:先列出的分布律,如下表
2
0
1
1
3
4
1
1
2
2
2
4
从表中看出:-2,0,1,3,4