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派尔斯(Peierls)相变
1、聚乙炔的结构
聚乙炔是由CH单体聚合而成的平面型线型共轭高分子。
聚乙炔的常见同分异构体:
反式:两个CH单体组成一个原胞,双键两端的两个氢原子位于双键的两侧,反式异构体是热力学的稳定状态。
顺式:四个CH单体组成一个原胞,双键两端的两个氢原子位于双键的同侧。
在温度升高时,顺式会转变成为反式。在保持相领两键之间的夹角是120度的情况下,有四种同分异构体:

聚乙炔薄膜的结构
在电子显微镜下,聚乙炔薄膜是由混乱取向的细丝所组成,细丝的直径随着不同的聚合条件而定,每根细丝由千万个碳链组成,,碳链之间的耦合性很低,,所以容易参杂,因为是插隙式的,所以能保持碳链的完整性.
2、一维体系的电导和派尔斯相变
价电子
在聚乙炔中,每个碳原子有四个价电子,其中三个是sp2杂化轨道,第四个是
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,另外两个分别与左右的碳原子相连形成σ 键,σ 键构成了聚乙炔的主链。第四个电子是π电子,π电子可以在相邻碳原子之间跳跃,因此π电子可以导电。
相变过程:一维体系物质的电导率随温度变化而变化的过程。
派尔斯相变:当温度升高时,一维体系由绝缘体或半导体转变为导体的相变过程。
3、费米面
波数K:波长的倒数;(K=1/入=p/h)表示在1cm的长度中有多少波长.
K空间(动量空间):以K为坐标轴的空间。
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对于动量为p的电子,取电子的运动方向为x轴,则其波函数是平面波:
电子在长度为L的直链中运动时,其波函数要满足周期性的边界条件(在边界上波函数值相等→(m=0,1,2———--—))
费米动量:设一维体系的长度为L,其中有N个可以自由移动的电子,体系中的N个电子按其能量的大小依次从K小的状态向K大的状态逐一填充在动量空间,N个电子填充后,最大的动量为PF,PF就是费米动量。
一维体系中决定费米动量的重要公式:
费米能EF:一维电子体系处于基态时,最大的动量是PF,电子的最大动量为
“电子-———空穴对”激发:将一个位于︱K︱>KF的状态上去的激发。
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激发能:
在二维电子体系中,电子的波函数为

在周期性边界条件下:, mx, my=0,1,2…….
二维体系中决定动量的公式:

费米球:在三维动量间中,当体系处于基态时,N个电子将填满一个半径为KF的球,此球称为费米球。
在三维体系中,电子的波函数为:
在周期性边界条件下:
费米动量(三维空间):在三维动量空间中的费米球的半径KF
费米面:三维动量空间中费米球的球面;二维的费米面是圆周;一维的费米面是两点.
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4、一维晶格的布里渊区
能谱:电子的能量与动量之间的函数关系,称为电子的能谱。
电子的线密度n:
(N:晶格中的原子数;L:一维晶格的总长度;a:晶格常数)
电子的费米动量:
能隙2△:当波数为,其上的电子会受到晶格原子的强烈散射,导致电子的能谱E(k)在KB上发生跳跃,出现的能谱差值。
能带:晶格中电子的能谱是一段一段的,每一段连续的能谱就称为一个能带.
布里渊区:由所分割成的区域称为布里渊区。
布里渊区的分布:
第Ⅰ布里渊区:
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第Ⅱ布里渊区:
第Ⅲ布里渊区:
……………….
特殊的波数KB(n)就是布里渊区的边界。
另外:布里渊区边界KB(n)是由晶格常数决定的,与电子数无关;而费米动量KF,完全由电子的密度n 决定,与晶格结构无关。KF是基态中电子的最大动量,而KB(n)是电子能谱不连续的位置。
不同的材料,电子的线密度n不一样,运用费米动量计算,相比较可得出第一能带的填充情况。
通过薛定谔方程,自由电子的能谱为:
在第一布里渊区出现的能隙Eg(1)=2V1,在第n个布里渊区的边界上的能隙为Eg(n)=2V(n)。
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5、二维晶格和三维晶格的布里渊区
晶格常数a,1/=1/a,k轴上的一系列点在动量空间中称为“倒格点",以1/a为单位的动量空间称为“倒格子空间”。倒格子空间中的各个倒格点的中点就是布里渊区的边界。
在边长为L晶格常数为a的正方形晶格中,原子数N=(L/a)2
在二维动量空间中,点阵中各点的位置矢量是:,称为“倒格矢”。
在二维倒格子空间中,对每个倒格矢Kn1,n2做垂直平分线,这些垂直平分线将动量空间划分成许多区域,最靠近坐标轴原点的一块正方形区域称为第Ⅰ布里渊区,其次靠近的四块三角形区域称为第Ⅱ布里渊区……。布里渊区域的边界是倒格矢的垂直平分线,各个布里渊区域的面积都相等S=1/a2
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在二维布里渊区域中,布里渊区域中动量状态数=晶格数中的原子数。
不同维度的布里渊区域及其边界的形状:
维度
布里渊区
布里渊区的边界
一维
线段
点
二维
多边形
直线
三维
多面体
平面
不同维度的菲费米球和费米面的形状:
维度
费米球
费米面
一维
线段
两点(±Kf)
二维
圆
圆周
三维
球
球面
6、一维晶格的派尔斯不稳定性
导体和半导体的差别:如果能带未被电子填满,则是导体;如果能带被电子填满,则是半导体或绝缘体。
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导体和半导体的判断方法:(1)能带是否被电子填满;(2)费米面与布里渊区边界是否重合
在聚乙炔中,如果碳原子是等距离排列,聚乙炔是导体。
派尔斯不稳定性:等距离排列的一维晶格是不稳定的。
二聚化:两个原子配对组成新原胞的过程。
结论:对于一维体系,如果费米面的位置KF与布里渊区的边界KB(n)不重合,该一维体系就具有派尔斯不稳定性,晶格原子要发生位移,对于形变后的新晶格,其新的布里渊区一定与费米面KF重合,这时在费米面上产生一个能隙,一维体系变为半导体或者绝缘体。
派尔斯相变:升高一定的温度后,费米面上的能隙消失,此时一维体系变成导体.
派尔斯相变是一维体系的特性,这是维度性决定凝聚态物性的一种表现。
7、聚乙炔的哈密顿量
体系的哈密顿量是体系的总能量 。
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聚乙炔的总能量是晶格原子(CH单元)和电子(包括晶格原子对电子的作用)两部能量之和 .
H=Ha+He
H:聚乙炔总哈密顿量
Ha:晶格原子哈密顿量
(k:弹性常数,k=21—56eV/A2;M:原子质量;un:第n个原子在链方向上的位移)
He:电子哈密顿量
(pi:第i个电子的动量;m:电子的质量;r i:第i个电子的坐标)
产生算符an+1+:表示在第n+1个原子上增加一个原子;
湮灭算符an:表示在第n个原子上减少一个电子。
an+,s和 an ,s;说明在第n个原子上增加或减少一个自旋为S()的电子。
哈密顿量: