平面直角坐标系与点的坐标(1).doc

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平面直角坐标系与点的坐标
一、选择题
1.(2016·湖北咸宁)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为( )
A. (0,0) B。(1,) C.(,) D.(,)
【考点】菱形的性质,平面直角坐标系,,轴对称——最短路线问题,三角形相似,勾股定理,动点问题.
【分析】点C关于OB的对称点是点A,连接AD,交OB于点P,P即为所求的使CP+DP最短的点;连接CP,解答即可.
【解答】解:如图,连接AD,交OB于点P,P即为所求的使CP+DP最短的点;连接CP,AC,AC交OB于点E,过E作EF⊥OA,垂足为F.
∵点C关于OB的对称点是点A,
∴CP=AP,
∴AD即为CP+DP最短;
∵四边形OABC是菱形,OB=4,
∴OE=OB=2,AC⊥OB
又∵A(5,0),
∴在Rt△AEO中,AE===;
易知Rt△OEF∽△OAE
∴=
∴EF===2,
∴OF===4.
∴E点坐标为E(4,2)
设直线OE的解析式为:y=kx,将E(4,2)代入,得y=x,
设直线AD的解析式为:y=kx+b,将A(5,0),D(0,1)代入,得y=—x+1,
∴点P的坐标的方程组y=x,
y=-x+1,
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解得x=,
y=
∴点P的坐标为(,)
故选D。
【点评】本题考查了菱形的性质,平面直角坐标系,,轴对称——最短路线问题,三角形相似,勾股定理,动点问题。关于最短路线问题:在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点(注:本题C,D位于OB的同侧).如下图:
解决本题的关键:一是找出最短路线,二是根据一次函数与方程组的关系,将两直线的解析式联立方程组,求出交点坐标.
·四川成都·3分)平面直角坐标系中,点P(﹣2,3)关于x轴对称的点的坐标为()
A。(﹣2,﹣3) B.(2,﹣3) C.(﹣3,﹣2)ﻩD。(3,﹣2)
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质,横坐标不变,纵坐标互为相反数,进而得出答案。
【解答】解:点P(﹣2,3)关于x轴对称的点的坐标为(﹣2,﹣3).
故选:A.
3. (2016湖北孝感,6,3分)将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,若OA=2,将三角板绕原点O顺时针旋转75°,则点A的对应点A′的坐标为( )
A.(,﹣1)B.(1,﹣)C.(,﹣)D.(﹣,)
【考点】坐标与图形变化-旋转.
【分析】先根据题意画出点A′的位置,然后过点A′作A′C⊥OB,接下来依据旋转的定义和性质可得到OA′的长和∠COA′的度数,最后依据特殊锐角三角函数值求解即可.
【解答】解:如图所示:过点A′作A′C⊥OB.
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∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°,
∴∠AOA′=75°,OA′=OA.
∴∠COA′=45°。
∴OC=2×=,CA′=2×=。
∴A′的坐标为(,﹣)。
故选:C.
【点评】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用,得到∠COA′=45°是解题的关键.
4。(2016·广西贺州)如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′,那么A(﹣2,5)的对应点A′的坐标是( )
A.(2,5)B。(5,2)C.(2,﹣5) D。(5,﹣2)
【考点】坐标与图形变化—旋转。
【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°,作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′,就可以得出△ACO≌△A′C′O,就可以得出AC=A′C′,CO=C′O,由A的坐标就可以求出结论.
【解答】解:∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′,
∴△ABO≌△A′B′O′,∠AOA′=90°,
∴AO=A′O.
作AC⊥y轴于C,A′C′⊥x轴于C′,
∴∠ACO=∠A′C′O=90°.
∵∠COC′=90°,
∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′,
∴∠AOC=∠A′OC′.
在△ACO和△A′C′O中,
,
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∴△ACO≌△A′C′O(AAS),
∴AC=A′C′,CO=C′O.
∵A(﹣2,5),
∴AC=2,CO=5,
∴A′C′=2,OC′=5,
∴A′(5,2).
故选:B。
【点评】本题考查了旋转的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等式的性质的运用,点的坐标的运用,解答时证明三角形全等是关键.
5.(2016·山东枣庄)已知点P(a+1,+1)关于原点的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是
-2
-1
2
1
0
B.
-2
-1
2
1
0
A.
-2
-1
2
1
0
C.
-3
-2
1
0
-1
D.
【答案】C.
考点:点的坐标;不等式组的解集.
6、(2016广东,7,3分)在平面直角坐标系中,点P(—2,-3)所在的象限是( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限D、第四象限
答案:C
考点:平面直角坐标。
解析:因为点P的横坐标与纵坐标都是负数,所以,点P在第三象限.
2。(2016大连,,2,3分)在平面直角坐标系中,点(1,5)所在的象限是( )
A。第一象限
【考点】点的坐标。
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.
【解答】解:点(1,5)所在的象限是第一象限.
故选A.
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
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二、填空题
1.(2016·广东茂名)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置,使点A的对应点A1落在直线y=x上,再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2落在直线y=x上,依次进行下去…,若点A的坐标是(0,1),点B的坐标是(,1),则点A8的横坐标是 .6+6.
【考点】坐标与图形变化-旋转;一次函数图象与几何变换。
【分析】先求出点A2,A4,A6…的横坐标,探究规律即可解决问题.
【解答】解:由题意点A2的横坐标(+1),
点A4的横坐标3(+1),
点A6的横坐标(+1),
点A8的横坐标6(+1).
故答案为6+6。
【点评】本题考查坐标与图形的变换﹣旋转,一次函数图形与几何变换等知识,解题的关键是学会从特殊到一般,探究规律,由规律解决问题,属于中考常考题型.
2.(2016·广东梅州)已知点P(3﹣m,m)在第二象限,则m的取值范围是___________.
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答案:
考点:平面直角坐标,解不等式组。
解析:因为点P在第二象限,所以,,解得:
3.(2016江苏淮安,11,3分)点A(3,﹣2)关于x轴对称的点的坐标是 (3,2) .
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标互为相反数解答.
【解答】解:点A(3,﹣2)关于x轴对称的点的坐标是(3,2).
故答案为:(3,2).
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标,关于x轴、y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
4.(2016·山西)如图是利用网格画出的太原市地铁1,2,,表示双塔西街点的坐标为(0,—1),表示桃园路的点的坐标为(-1,0),则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是(3,0) .
考点:坐标的确定
分析:根据双塔西街点的坐标为(0,—1),可知大南门为坐标原点,从而求出太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标
解答:太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标(3,0)
5。(2016山东省聊城市,3分)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2,再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3,以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是 (21008,0).
【考点】正方形的性质;规律型:点的坐标。
【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标,找出这些坐标的之间的规律,然后根据规律计算出点B
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2016的坐标.
【解答】解:∵正方形OA1B1C1边长为1,
∴OB1=,
∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边,
∴OB2=2,
∴B2点坐标为(0,2),
同理可知OB3=2,
∴B3点坐标为(﹣2,2),
同理可知OB4=4,B4点坐标为(﹣4,0),
B5点坐标为(﹣4,﹣4),B6点坐标为(0,﹣8),
B7(8,﹣8),B8(16,0)
B9(16,16),B10(0,32),
由规律可以发现,每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边长变为原来的倍,
∵2016÷8=252
∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同,横坐标为正值,纵坐标是0,
∴B2016的坐标为(21008,0).
故答案为:(21008,0).
【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点,解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边长变为原来的倍。
6.(2016。山东省泰安市,3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A1,点A2,A3,…在直线l上,点B1,B2,B3,…在x轴的正半轴上,若△A1OB1,△A2B1B2,△A3B2B3,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 2n+1﹣2. ﻩﻩ
ﻩ
【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标,探究规律后,即可根据规律解决问题。
【解答】解:由题意得OA=OA1=2,
∴OB1=OA1=2,ﻩﻩ
B1B2=B1A2=4,B2A3=B2B3=8, ﻩﻩ
∴B1(2,0),B2(6,0),B3(14,0)…, ﻩ
2=22﹣2,6=23﹣2,14=24﹣2,…
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∴Bn的横坐标为2n+1﹣2.
故答案为2n+1﹣2.
ﻩ
【点评】本题考查规律型:点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题,属于中考常考题型。
7.(2016。山东省威海市,3分)如图,点A1的坐标为(1,0),A2在y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交x轴于点A3;过点A3作A3A4⊥A2A3,垂足为A3,交y轴于点A4;过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交x轴于点A5;过点A5作A5A6⊥A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6;…按此规律进行下去,则点A2016的纵坐标为 ﹣()2015 .
【考点】坐标与图形性质.
【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标,探究规律,利用规律解决问题.
【解答】解:∵A1(1,0),A2[0,()1],A3[﹣()2,0].A4[0,﹣()3],A5[()4,0]…,
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上,余数是1在x轴的正半轴上,余数是2在y轴的正半轴上,余数是3在x轴的负半轴上,
∵2016÷4=504,
∴A2016在y轴的负半轴上,纵坐标为﹣()2015.
故答案为﹣()2015.
8。(2016·江苏省扬州)以方程组的解为坐标的点(x,y)在第二象限.
【考点】二元一次方程组的解;点的坐标.
【分析】先求出x、y的值,再根据各象限内点的坐标特点即可得出结论.
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【解答】解:,
∵①﹣②得,3x+1=0,解得x=﹣,
把x的值代入②得,y=﹣+1=,
∴点(x,y)的坐标为:(﹣,),
∴此点在第二象限.
故答案为:二。
9。(2016•呼和浩特)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点,一边AB与x轴平行且AB=2,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为 (﹣2﹣a,﹣b)(2﹣a,﹣b) .
【考点】平行四边形的性质;坐标与图形性质.
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=2,根据已知条件得到B(2+a,b),或(a﹣2,b),∵由于点D与点B关于原点对称,即可得到结论.
【解答】解:如图1,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=2,
∵A的坐标为(a,b),AB与x轴平行,
∴B(2+a,b),∵点D与点B关于原点对称,
∴D(﹣2﹣a,﹣b)
如图2,∵B(a﹣2,b),∵点D与点B关于原点对称,
∴D(2﹣a,﹣b),
综上所述:D(﹣2﹣a,﹣b),(2﹣a,﹣b).
三、解答题
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1.(2016·湖北咸宁)(本题满分12分) 如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB,作线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.
(1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来,发现:这些点P竟然在一条曲线L上!
①设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式,并指出曲线L是哪种曲线;
②设点P到x轴,y轴的距离分别为d1,d2,求d1++d2=8时,求点P的坐标;
③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折,得到一条“W"形状的新曲线,若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点,直接写出k的取值范围.
图1 图2
【考点】二次函数,一次函数,尺规作图,平面直角坐标系,勾股定理,一元二次方程,轴对称-—翻折,最值问题。
【分析】(1)根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可,要标出字母;
(2)①分x〉0和x≤0两种情况讨论:当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE⊥y轴于点E,可得出PA=PB=y;再在Rt△APE中,EP=OB=x,AE=OE-OA=y-1,由勾股定理,可求出y与x之间的关系式;当x≤0时,点P(x,y)同样满足y=x2+,曲线L就是二次函数y=x2+的图像,也就是说
曲线L是一条抛物线.
②首先用代数式表示出d1,d2:d1=x2+,d2=|x|,得出d1+d2=x2++|x|,可知当x=0时,d1+d2有最小值,因此d1+d2的范围是d1+d2≥;当d1+d2=8时,则x2++|x|=8. 将x从绝对值中开出来,故需分x≥0和x<0两种情况讨论:当x≥0时,将原方程化为x2++x=8, 解出x1,x2即可;当x<0时,将原方程化为x2+—x=8,解出x1,x2即可;最后将x=±3代入y=x2+,求得P的纵坐标,从而得出点P的坐标。
③直接写出k的取值范围即可.
【解答】解:(1)如图1所示(画垂直平分线,垂线,标出字母各1分).
……………………………………………………………..3分
E
图1 图2
(2)①当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE⊥y轴于点E。