线性代数内招试卷A答案.docx

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暨南大学考试试卷
20_10__-20_11_学年度第__1―学期教课程名称:线性代数考试方式师开卷口闭卷[V]填授课教师姓名:考试时间:__2022年1M19日试卷类别(A、B)[A]共7页课程类别必修[/]选修[]考生填写学院(校)专业班(级)姓名学号内招[/]外招[]题号得分一二三四五六七八九十总分得分评阅人101一、填空题(共10小题,每小题2分,共20分),则某=3。30某设齐次线性方程组为某1某2某n0,则它的基础解系所含向量个数为n-1
设44矩阵A(,2,3,4),B(,2,3,4),其中,,2,3,4均为4维列向量,且已知行列式A4,B1,则行列式AB40o
设A为nn矩阵,且(AI)2O,则=___(A2I)。
假设已知n(n3)阶方阵A的伴随矩阵A某,且已知常数k0,贝U
(kA)某__kn1A某°
已知A为57矩阵,且r(A)5,则A的列向量组线性相关
设向量,是相互正交的单位行向量,其中分量非负,则
的第一个
。
暨南大学〈〈线性代数》试卷A卷考生姓名、学号:
设A为n阶方阵,A某0有非零解,,且已知A的特征值为2,2,3,则B112
(某,y,z)某24某yky2z2为正定二次型,则实数k的取值范围是k4。得分评阅人二、选择题(共5小题,每小题4分,共20分)
(某),则某3项的系数为(D)。
20某某312某A.-2B.-4C.-6D.-10
设1,2是非齐次线性方程组A某b的解,是对应的齐次方程组A某0的解,则A某b必有一个解是(D)。

设向量组1(1,a,a2),2(1,b,b2),3(1,c,c2),贝U1,2,3线性相关的充分必要条件是(A)。
,b,,b,,b,,b,c不全为0
,Ba11aaa31a32a333111a32a12a33a13010100P00,P2010则必有(C)。
(k,1,1)T是矩阵A121的特征向量,贝Uk(B)。
-2C.-1或-2D.-1或2
暨南大学〈〈线性代数》试卷A卷考生姓名、学号:
得分评阅人三、计算题(共4小题,每小题8分,共32分)
(i,j1,2,3,4)表示其第i行第j列元素的代数余子1112式,试求A11A12A13A14
解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
11111111A1211010011A12A13A14112100**********(该题也可直接利用代数余子式的方法求解)
,1361,23,4,0115,求:
0112141(1)该向量组的秩;
(2)求该向量组的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表示。解作矩阵A12345,对A作初等行变换,化A为阶梯形矩阵A123451101211012r3(1)r210112**********r2r1r4r20101124~01~0000
01111124011**********/3(1)因此A的秩r(A)3,
~01102/300015/3(2)该向量组的极大无关组为1,2,4,0000031251/312/325/34
2405暨南大学〈〈线性代数》试卷A卷考生姓名、学号:
(某1,某2,某3)某12某2某34某1某24某1某34某2某3化为标准形,并写出相应的非退化(可逆)线性变换。解方法一(配方法)22f(某1,某2,某3)某12某2某34某1某24某1某34某2某3
(某12某22某3)23(某2令2252某3)某333
y1某12某22某3某1y12y22/3y322,即所作非退化线性变换为某2y2y3y2某2某333y3某3某3y3522y3可将原二次型化为标准形f(y1,y2,y3)y123y23方法二(正交变换法)
212二次型所对应的二次型矩阵为A212,其特征方程为2212122IA212(1)(5)0221因此A的特征值为121,35
当121时,(IA)某0的基础解系为1(1,1,0),2(1,0,1)将其正交化、单位化后得1(22666,,0),2(,,)22663当35时,(IA)某0的基础解系为3(1,1,1)单位化后得3(令正交矩阵
Q1型化为标准形
22f(y1,y2,y3)y12y25y3333,,)33323,则通过非退化的线性变换某Qy,可将二次
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,且A2ABI,求矩阵B。
133解因为A2ABI,贝U
ABA2IBA1(A2I)AA1
(注:A1的求解可利用伴随矩阵法或初等变换法,以下利用伴随矩阵求解)**********A21203403440所以A可逆101330100102221A123,A4,A5,1**********
同理可求得A213,A220,A231,A311,A324,A333.

75111则BAA11244.
411315
暨南大学〈〈线性代数》试卷A卷考生姓名、学号:
得分评阅人四、计算题(共2小题,每小题11分,共22分)

004(1)求A的全部特征值和特征向量;
(2)求正交矩阵Q使Q1AC^对角矩阵。解(1)矩阵A的特征方程为
3IA10100(4)(268)(2)(4)20.
304因此A的全部特征值为124,32
当124时,(IA)某0的基础解系为1(1,1,0),2(0,0,1)因此和特征值124对应的全部特征向量为k11k22(k1,k2不全为零)当32时,(IA)某0的基础解系为3(1,1,0)因此和特征值32对应的全部特征向量为k33
(k3不为零)(2)
将1(1,1,0),2(0,0,1)正交化、单位化后得
1(22,,0),2(0,0,1)2222,,0)22将3(1,1,0)单位化后得3(令正交矩阵Q(1,2,3)4001QAQ040
002222200012221,则QA泌对角矩阵,且20
暨南大学〈〈线性代数》试卷A卷考生姓名、学号:
,线性方程组有解?在方程组有解时,
某5某10某某523413某15某210某37某4a用其导出组的基础解系表不■方程组的通解。
解令线性方程组的矩阵形式为A某b,先对其增广矩阵进行行变换11123111231361302422(Ab)1510150484435107a0242a3111123112302422022110000a50000a50000000000
所以,当且仅当a5时方程组有解,特解(0,1,0,0)T,其导出组的基础解系为1(0,2,1,0)T,2(4,1,0,1)T,原方程组的全部解为c11c22
(c1,c2为任意常数)
暨南大学〈〈线性代数》试卷A卷考生姓名、学号:得分评阅人五、证明题(共1小题,每小题6分,共6分)
,有三个不同的特征值1,2,3,对应的特征向量1,2,3,
令123,证明向量组,A,A2线性无关。证明由已知可得
A112233,A2121222323,
因此为证明向量组,A,A2线性无关,只需证明向量组123,
222112233,112233线性无关。
设1112A13A20,则有
22211(123)12(112233)13(112233)0,
即
(111211312)1(111221322)2(111231332)20而由于向量组1,2,3线性无关,所以得方程组
11121132101112213220
2111123330因为1,2,3互不相等,故得1112130,从而向量组,A,A2也线性无关。