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§ 充要条件
教学目标: 1、理解充要条件的意义.
2、掌握判断命题的条件的充要性的方法.
3、进一步培养学生简单逻辑推理的思维能力.
教学重点: 理解充要条件意义及命题条件的充要性判断.
教学难点: 命题条件的充要性的判断.
教学方法: 讲、练结合教学
教学过程:
一、复****回顾
一个命题条件的充分性和必要性可分为四类,即有哪四类?
充分不必要条件;必要不充分条件;既充分又必要条件;既不充分也不必要条件。
本节课将继续研究命题中既充分又必要的条件。
二、讲授新课:
1、请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件?
(1)若a是无理数,则a+5是无理数;
(2)若两个内角相等,则三角形是等腰三角形;
(3)若a,b为实数,,则。
解答:命题(1)中因:a是无理数Þa+5是无理数,所以“a是无理数”是“a+5是无理数”的充分条件;又因:a+5是无理数Þa是无理数,所以“a是无理数”又是“a+5是无理数”的必要条件。因此“a是无理数”是“a+5是无理数”既充分又必要的条件。
2、充要条件:一般地,如果既有α⇒β,又有β⇒α,就记作:α⇔β(“⇔”叫做等价符号),那么α既是β的充分条件,又是β的必要条件,我们称为α是β的充分而且必要条件,简称充要条件。
下边请回答命题(2)、(3)。
解答:“两个内角相等”是“三角形是等腰三角形”的充要条件;
“”是“”的充要条件。
例1:已知实系数一元二次方程(),“”是“方程有两个相等的实数根”的什么条件?为什么?
解:方程变形为.
∵∴
∴“”是“方程有两个相等的实数根”的充分条件.
反过来,方程有两个相等的实数根,那么有方程根与系数关系得
∴
∴“”是“方程有两个相等的实数根”的必要条件。
即“”是“方程有两个相等的实数根”的充要条件。
小结:充分性证明:条件⇒结论;必要性证明:结论⇒条件。
例2:讨论解答下列各题
指出下列各组命题中,α是β的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)?
(1)α:(x-2)(x-3)=0;β:x-2=0.
(2)α:同位角相等;β:两直线平行。
(3)α:x=3; β:x2=9.
(4)α:四边形的对角线相等;β:四边形是平形四边形。
解:(1)因x-2=0 Þ(x-2)(x-3)=0,而: (