第九节　函数与方程.pptx

第九节函数与方程 1. 结合二次函数的图象, 了解函数的零点与方程根的联系, 判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2. 根据具体函数的图象, 能够用二分法求相应方程的近似解. 1. 函数的零点第九节函数与方程(1) 函数零点的定义对于函数 y=f(x )(x∈D ), 把使 f(x )=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x )(x∈D) 的零点. (2) 几个等价关系方程 f(x )=0 有实数根?函数 y=f(x) 的图象与 x轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 函数的零点是函数 y=f(x) 的图象与 x 轴的交点吗? 提示: 不是. 函数的零点是一个实数, 是函数 y=f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 思考感悟提示第九节函数与方程(3) 函数零点的判定( 零点存在性定理) 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f (a)·f(b )<0 , 那么函数 y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点, 即存在 c∈(a,b ), 使得 f (c )=0 , 这个 c 也就是 f(x )=0 的根. 若函数 f(x)在[a,b] 内有零点, 一定有 f(a)·f(b )<0 吗? 反之若 f(a)·f(b )<0, 则在(a,b) 内有唯一零点吗? 提示: 不一定. 如函数 f(x )=x 2-1在[- 2,2] 内有两个零点,但f (2) ·f(- 2)>0. 所以 f(a)·f(b )<0 是f(x)在[a,b] 上有零点的充分不必要条件, 反之时,f(x)在[a,b ] 内一定有零点, 但不能确定个数. 2. 二次函数 y= ax 2+ bx+c(a >0) 的图象与零点的关系思考感悟提示第九节函数与方程Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y=ax 2+bx+c(a >0) 的图象与x轴的交点(x 1,0) ,(x 2,0)(x 1,0) 或(x 2,0)无交点零点个数两个一个零个第九节函数与方程 3. 用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤第一步, 确定区间[a,b ], 验证 f(a)·f(b )<0 , 给定精确度ε. 第二步, 求区间(a,b) 的中点 x 1. 第三步, 计算 f(x 1): (1) 若f(x 1 )=0 ,则x 1 就是函数的零点; (2) 若f(a)·f(x 1 )<0 , 则令 b=x 1( 此时零点 x 0∈(a,x 1 )); (3) 若f(a)·f(x 1 )>0 , 则令 a=x 1( 此时零点 x 0∈(x 1,b )). 第四步, 判断是否达到精确度ε: 即若|a-b |<ε, 则得到零点近似值 a(或b ); 否则重复第二、三、四步. 第九节函数与方程考点一函数零点的求解和判断 1. 方程 x 2+ ax- 2=0 在区间[1,5] 上有一解, 则实数 a 的取值范围为()解析第九节函数与方程解析第九节函数与方程解析第九节函数与方程解析第九节函数与方程判定函数零点个数的几种方法: (1) 直接求零点:令f(x )=0, 如果能求出解, 则有几个解就有几个零点. (2) 零点存在性定理: 利用该定理不仅要求函数在[a,b] 上是连续的曲线,且f(a)·f(b )<0. 还必须结合函数的图象和性质( 如单调性) 才能确定函数有多少个零点. (3) 画两个函数图象, 看其交点的个数有几个, 其中交点的横坐标有几个不同的值, 就有几个不同的零点.