行列式的计算方法.doc

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列式
=
解：根据行列式的定义，行列式展开后等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积，通过观察可知的展开式中只有一个非零项，这一项行标排列具有自然顺序排列，对应的列标排列为，其逆序数为,故
当行列式的元素中有较多0时，可以利用定义法进行计算，但如果元素中出现较多非0元素时，这种方法就不易求解。
利用化为三角形的方法计算
利用行列式的性质把行列式通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的元素全为零的行列式,这样得到的行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积。而对于非零元素位于次对角线的情形,行列式的值等于与次对角线上所有元素的乘积。
例2 利用上三角形法计算阶行列式

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解：



在例2中，行列式的每一行对应元素中包含有相同的元素，这样使用化三角形法较为简便，但当行列式的元素不相同且无规律时，计算量就会增加不少，此时这种方法并不简单。
利用降阶法计算行列式
在计算行列式的时候可以根据行列式元素间的规律，依据行列式的性质或行列式按行（列）展开定理，将一个阶行列式化为个阶行列式来计算。若再继续使用按行（列）展开法，可以将阶行列式降阶然后一直化为多个2阶行列式来计算。
例3. 利用降阶法计算阶行列式

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解：依据行列式按行（列）展开的定理，将按第一行展开，即得：

然后将后面的行列式按第一列展开，即得
(-1)
值得注意的是，根据行列式的性质利用降阶法时，应该将某行（列）元素尽可能多地变成零，之后再按行（列）展开，这样计算才能体现出降阶法计算行列式的简便性，但是针对一些构造特殊的行列式，因为阶行列式的第行构成的级子式有个，故一般行列式只是能降阶而不能减少其计算量，这种方法往往无效。[2]
利用降阶法可以计算行列式，那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的阶行列式呢？
镶边法
一个阶行列式，如果或中除了外其余元素全为0，那么该行列式便可利用行列式按行（列）展开定理将其转化为一个计算阶行列式。反过来，也可以利用相同的方法把一个阶行列式转化为一个
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与之相等的阶行列式，这就是镶边法。
镶边法解题步骤
通过加边（列）的方法把一个级行列式转化为一个与之相等的阶行列式；
根据行列式的性质把添加进去的行（列）的适当的倍数加到其它行（列）使其它行（列）出现更多的0元素后再进行计算。
镶边的一般方式
首行首列 首行末列 末行首列 末行末列。[3]
当然也可以添加在行列式任意某一行与某一列的位置，但是等价变形后，总变成上述四种情况之一。
利用镶边法计算阶行列式

解：



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递推法
递推法就是利用行列式元素间的规律，在阶与阶（或更低阶）行列式之间建立递推关系，再利用所得的关系式计算行列式的值。递推法主要是降阶递推法，常见的有两种类型：
；这时根据递推关系可推出关系式
；
这时可设、是方程的根，则由根与系数的关系可得，于是有：
- (Ⅰ)
(Ⅱ)
若，则由（Ⅰ）和（Ⅱ）得
注意又由（Ⅰ）和（Ⅱ）递推可得
若，则（Ⅰ）和（Ⅱ）可变成，即，
故
=
=
=
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