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《线性代数》常见计算题型及常用思路计算题题型 1 .解线性方程组(必须掌握) 最常用方法:先用高斯消元法化为阶梯形,从而得出自由未知量(设为 1 , , t i i x x ?),然后对自由未知量赋予任意值, 即设 11 , , t i i t x k x k ? ??, 这儿 1 , , t k k ?为任意常数。把赋予自由未知量的值带入方程组, 解除方程组的解( 是关于 1 , , t k k ?的一些表达式) 方法(1) 的变形: 先用高斯消元法化为阶梯形, 从而得出自由未知量( 设为 1 , , t i i x x ?)。设1 , , ttF ? ???是tF 的一组基( 常取自然基) 。然后令 1 ( , , ) , 1, 2, t i i j x x j t ?? ?? ?,分别解得方程组的解: 1 , , t X X ?(这是一个基础解系)。则可知方程组的解为 1 1 t t X k X k X ? ???, 这儿 1 , , t k k ?为任意常数。(一般解) Cramer 法则。注意: Cramer 法则只对系数矩阵可逆的情形适用。题型 2 .将( ) V F ??用 1 , , ( ) m V F ? ???线性表示(或求坐标) 常用思路: 待定系数法。设1 , , m x x ?使得 1 1 m m x x ? ? ?? ???。然后根据题设条件得到关于 1 , , m x x ?的一个方程组。解方程组。方法二:利用课本定理 (如果已知在某一组基下的矩阵) 题型 3 .判断 1 , , ( ) m V F ? ???的线性相关性常用思路:待定系数法。设 1 , , m x x ?使得 1 1 0 m m x x ? ?? ???。然后根据题设条件得到关于 1 , , m x x ?的一个方程组。解方程组。如果方程组只有零解,则 1 , , ( ) m V F ? ???线性相关。反之,线性无关。题型 4 .求 1 , , ( ) m V F ? ???的极大无关组及秩常用思路:待定系数法。设 1 , , m x x ?使得 1 1 0 m m x x ? ?? ???。然后根据题设条件得到关于 1 , , m x x ?的一个方程组。用高斯消元法化简方程组, 得到自用未知量。不是自用未知量的 ix 所对应的 i?放到一起,就构成了原向量组的一个极大无关组。题型 4′.求基与维数常用方法:找到一组有限生成元,转化为题型 4。题型 1 , , nmF ? ???扩充为 nF 一组基常用思路: 首先确定出 1 , , nmF