曹显兵概率论讲义(打印版)[统计学经典理论].doc

第一讲随机事件与概率
考试要求
1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.
2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.
3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法.
一、古典概型与几何概型
,样本空间与事件.
:设样本空间为一个有限集,且每个样本点的出现具有等可能性,则

:设为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性,则
【例1】一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率.
(1) 一次取3个;
(2) 一次取1 个, 取后不放回;
(3) 一次取1个, 取后放回.
【例2 】从(0,1) 中随机地取两个数,试求下列概率:
(1) ;
(2) 两数之和小于1且其积小于.
事件的关系与概率的性质
1. 事件之间的关系与运算律(与集合对应), 其中特别重要的关系有:
(1) A与B互斥(互不相容)
(2) A与B 互逆(对立事件) ,
(3) A与B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
P(B|A)=P(B) (P(A)>0).
(0<P(A)<1).
P(B|A) =P(B|) ( 0 < P(A) < 1 )
注: 若(0<P(B)<1),则独立 P(A|B)=P(A) (P(B)>0)
(0<P(B)<1).
P(A|B)=P(A|) (0<P(B)<1)
P(|B)=P(|) (0<P(B)<1)
(4) A, B, C两两独立 P(AB)=P(A)P(B);
P(BC)=P(B)P(C);
P(AC)=P(A)P(C).
(5) A, B, C相互独立 P(AB)=P(A)P(B);
P(BC)=P(B)P(C);
P(AC)=P(A)P(C);
P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
2. 重要公式
(1)
(2)
(3)

(4) 若A1, A2,…,An两两互斥, 则.
(5) 若A, …, A相互独立, 则
.
.
(6) 条件概率公式: (P(A)>0)
【例3】已知(A+)()+=C, 且P( C )=, 试求P(B ).
【例4】设两两相互独立的三事件A, B, C满足条件: ABC=Φ, P(A)=P(B)=P(C)<,且已知, 则P(A)= .
【例5】设三个事件A、B、C满足P(AB)=P(ABC), 且0<P(C)<1, 则【】
(A)P(AB|C)=P(A|C)+ P(B|C). (B)P(AB|C)=P(AB).
(C)P(AB|)=P(A|)+ P(B|). (D)P(AB|)=P(AB).
【例6】设事件A, B, C满足条件: P(AB)=P(AC)=P(BC), P(ABC)=, 则事件A, B, C中至多一个发生的概率为.
【例7】设事件A, B满足 P(B| A)=1则【】
(A) A 为必然事件. (B) P(B|)=0.
(C) . (D) .
【例8】设A, B, C为三个相互独立的事件, 且0<P(C)<1, 则不独立的事件为【】
(A) 与C . (B) 与
(C ) 与(D) 与
【例9】设A,B为任意两个事件,试证
P(A)P(B)-P(AB) ≤ P(A-B) P(B-A) ≤.
三、乘法公式,全概率公式,Bayes公式与二项概率公式
1. 乘法公式:
2. 全概率公式:
:
:
,
【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品,
试求另一件也为次品的概率.
【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.
试求下列事件的概率.
(1) 第三次取得次品;
(2) 第三次才取得次品;
(3) 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品;
(4) 不超过三次取到次品;
【例12】甲, 乙两人对同一目标进行射击,, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.
(1)在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次;
( 2)甲, 乙两人独立地各射击一次.
【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份