数理统计之统计量及其分布(习题)[统计学经典理论].doc

计算题、证明题
1. 设(,,…,)及(,,…,)为两组子样观测值,它们有如下关系
=(都为常数)求子样平均值与,子样方差与之间的关系.
解:
2. 若子样观测值,,…, 的频数分别为,,…,,试写出计算子样平均值和子样方差的公式(这里=++…+).
解:

其中, 是出现的频率。
? ? 是多少?
解: 设需抛钱币次,第次抛钱币结果为
, 。
. 由契贝晓夫不等式, 即需抛250次钱币可保证
为更精确计算n值,可利用中心极限定理
. 其中是的分布函数.
4. 若一母体的方差= 4, 而是容量为100的子样的均值. 分别利用契夫晓夫不等式和极限定理求出一个界限, 使得- (为母体的数学期望E) .
解:设此界限为由由此
由中心极限定理,

(,)的容量为的两个子样(),和()的均值,.
解: 且相互独立.,所以
于是

~N(,4 ),()是取自此母体的一个子样, 为子样均值,试问:子样容量应取多大,才能使(1) E ( );
(2) E (); (3) P ().
解: (1)
(2)
=
(3)
.
7. 设母体(两点分布), ()是取自此母体的一个子样, 为子样均值,,子样容量应取多大,才能使
(1)P (2)E (丨丨)
若P为未知数,则对每个,子样容量应取多大才能使E (丨丨)
解: (1) 要
当时,服从二项项分布查二项分布表知
所以应取10.
(2) 当时
(3) 当未知时,
由此知, , 要对一切此时均成立.
只要求值使最大, 显然当, 最大,.所以当时,对一切的不等式均能成立.
8 设母体的阶原点矩和中心矩分别为=Ek,=E,
=1,2,3,4,和分别为容量的子样阶原点矩和中心矩, 求证:
(1) E=; (2) E=+.
解: +
+
注意到独立, 且
所以

=
9. 设母体~N,子样方差=, 求E,D 并证明当增大时,它们分别为+和+.
解: 由于所以

.
10. 设为取自正态母体~N的一个子样, 试证: 1 +2, 1-2是相互独立的.
证:
由于1, 2 ~N, 所以. E
即又,
所以由两个变量不相关就推出它们独立.
,是取自此母体的一个子样,若F的二阶矩存在, 为子样均值,试证1--与j--的相关系数=,,
证由于的二阶矩存在,不妨设
12. 设和分别是子样的子样均值和子样方差,现又获得第+1个观测值,试证:
(1) n+1=n+(n+1-n);
(2) =.
证(1)
=
13. 从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球, 令=0表示取到白球, =,并求子样均值和子样方差的期望值.
解: 相互独立都服从二点分布E= D
所以
服从二项分布其分布列
14. 设母体服从参数为的普哇松分布, 是取自此母体的一个子样,求: (1)子样的联合概率分布列:
(2)子样均值的分布列、E、D、和E。
解: (1) (2)服从参数为的普哇松分布,所以的分布列为
15. 设子样取自自由度为的母体, 试求子样均值的分布密度函数.
解: 由于分布具有可加性,所以服从分布. 的分布密度函数为:
16. 设母体服从分布,其密度函数为
为大于0的常数, 为取自此母体的一个子样,试求子样和的分布函数.
解: 利用分布的可加性,知的分布密度为
.
17. 设母体服从指数分布,其密度函数为,求子样均值的分布.
解: 由于服从指数分布,也就是服从分布:由分布的可加性,知子样和服从因而的分布密度为。
,求和, 的联合分布.
解: 由于相互独立,又所以和相互独立, , ,所以的联合分布是二维正态分布.
19. 设母体是取自此母体的一个子样,求子样均值的分布密度函数.
解: 二维正态变量的和仍为二维正态变量,其五个参数分别为
,


因此服从
20. 设母体的分布列为P()=,k=1,2,,为子样的均值,试求E和D (表示成N的函数).
解: 由于N有限,而抽样不返回,所以不是简单随机子样,的分布列与母体相同,但不相互独立,

因为
.
21. 设母