1.3逆矩阵.ppt

逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念与性质
二、用行初等变换求逆矩阵
返回
(Inverse Matrix)
逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念与性质
数a ≠0：a a-1 = a-1 a =1
?: ?矩阵A: 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念与性质
二、用行初等变换求逆矩阵
返回
(Inverse Matrix)
逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念与性质
数a ≠0：a a-1 = a-1 a =1
?: ?矩阵A: A ( ? ) = I
定义 设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB = BA = I,则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为A-1 = B.
若A可逆，则A-1存在，且 A A-1 = A-1 A = I.
单位阵 I: (Identity Matrix):
对角阵:
I -1 = I
定理1 设A可逆，则它的逆是唯一的.
证
设有B和C 满足
AB = BA = I, AC = CA = I.
注意
若A, B均为方阵，且AB = I (或 BA = I),
则A可逆且B=A-1.
应用：
性质 设A, B 均为n阶可逆矩阵，数λ≠0，则
证
4：
1. A-1可逆，且(A-1)-1 = A;
2. λA可逆，且 (λA)-1 = 1/λ A-1
3. AB可逆，且(AB)-1 = B-1 A-1;
4. AT可逆，且(AT)-1 = (A-1)T.
3:
①　( AT)T = A
② (kA)T = kAT
③ (AB)T = BTAT
④ (AB)T = BTAT (A+B)T = AT+BT
1. A-1可逆，且(A-1)-1 = A;
2. λA可逆，且 (λA)-1 = 1/λ A-1
3. AB可逆，且(AB)-1 = B-1 A-1;
4. AT可逆，且(AT)-1 = (A-1)T.
例2
证
注意：初等矩阵可逆！其逆阵呢？
定理 设A为n阶矩阵，则下列各命题等价：
1. A是可逆的；
2. AX = 0只有零解；
3. A与I 行等价；
4. A可表为有限个初等矩阵的乘积.
BX = 0只有零解.
矛盾
证 1→2:
2→3:
设A是可逆的，且X是AX＝0的解，则
所以，AX = 0只有零解.
由条件，A可经行初等变换得I.
显然（为什么？）
3→4:
4→1:
由初等矩阵可逆以及乘积的可逆性知：
A可逆
则Y为AX = b的解，矛盾.
AY=A(X+Z)=AX+AZ=b+0=b
令Y=X+Z,
所以：A可逆。
A不可逆 AX = 0有非零解Z.
推论 设A为n阶矩阵，则AX = b有唯一解的充要条件
是A可逆.
证 充分性：
必要性：
设AX = b有唯一解X, 但A不可逆.
二、 用行初等变换求逆矩阵
设A可逆，
所以存在初等矩阵E1, …, Ek, 使得
方法
（求逆矩阵的简便方法.）
例5 求A的逆矩阵：
解
例6 求A的逆矩阵：
解
为什么？
A不可逆
例8 解矩阵方程 ：
解
例8 解矩阵方程 ：
例8 解矩阵方程 ：
解矩阵方程的其他情况 ：
?
例9
解