清华大学硕士生入学考试试题高等代数2003.doc

清华大学硕士生入学考试试题专用纸高等代数准考证号系别数学科学系考试日期 专业考试科目高等代数试题内容: 一、( 20分)设f (X) =(X+1) 4 (X-1) 3 为复方阵 A 的特征多项式, 那么 A的 Jordan 标准型 J 有几种可能?(不计 Jordan 块的次序) 二、( 20 分)设方阵 A=??????????012 326 113- - - - - A 在实数域 R 上是否相似域对角形( 即有实方阵 P使P -1 AP 为对角形) ?在复数域 C 上呢? 给出证明。三、( 20 分)判断以下论断是否成立,证明自己的判断:对任意 n 阶可逆方阵 A ,存在方阵 P,L,T 使得 PA=LT, 其中 P 为对换方阵( 即对换单位方阵 I 的某两行所得方阵) 之积,L 为下三角形方阵且对角线元素均为 1,T 为上三角形方阵。四、( 20 分)任给互异复数 a,b 和a 0,a 1,a 2,b 0,b 1,b 2 是否存在多项式)(xf 使得 i ii ibbfaaf??)(,)( )()( (i=0,1,2) ?证明之。(其中)( )(af i 表示 f (X) 的次微商在 a 的取值) 五、( 20 分)设方阵???????????????1 1 01 0 1 0 nc ???= , 试求:(1)C 的特征多项式 f (X) ;(2)C 的极小多项式 m(X) ; (3) 与方阵 C (乘法)可交换的方阵全体 C。六、( 30 分) 1 、设 V 是域 F上n 维线性空间,以 V ﹡表示定义域 V 上的线性函数全体,试证明V ﹡对适当定义的运算是 F 上线性空间(称为对偶空间) ,求其维数 dim V ﹡ 2设V 1 ,V 2为F上 m,n 维线性空间, ?﹡:V