xx年考研数学一真题与解析.docx

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2019年考研数学一真题与解析
2019年考研数学一真题解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．当时，若与是同阶无穷小，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（C）
【详解】当时，，所以，所以．
2．设函数，则是的（ ）
（A）可导点，极值点 （B）不可导的点，极值点
（C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点
【答案】（B）
【详解】（1），所以函数在处连续；（2），所以函数在处不可导；（3）当时，，函数单调递增；当时，，函数单调减少，所以函数在取得极大值．
3．设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
（A） （B） (C） （D）
【答案】（D）
【详解】设是单调增加的有界数列，由单调有界定理知存在，记为；又设，满足，则，且，则对于正项对于级数，前项和：
也就是收敛．
4．设函数，如果对于上半平面内任意有向光滑封闭曲线都有
那么函数可取为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（D）
【详解】显然，由积分与路径无关条件知，也就是，其中是在上处处可导的函数．只有（D）满足．
5．设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（C）
【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可能是和．而，所以三个特征值只能是，根据惯性定理，二次型的规范型为．
6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（A）
【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而；
（2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以；
7． 设为随机事件，则的充分必要条件是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
【详解】选项（A）是互不相容；选项（B）是独立，都不能得到；
对于选项（C），显然，由，
8．设随机变量与相互独立，且均服从正态分布．则（ ）
（A）与无关，而与有关 （B）与有关，而与无关
（C）与，都有关 （D）与，都无关
【答案】（A）
【详解】由于随机变量与相互独立，且均服从正态分布，则，从而
只与有关．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．设函数可导，，则 ．
【答案】
解：
10．微分方程满足条件的特解为 ．
【答案】
【详解】把方程变形得，即
由初始条件确定，所以．
.
看不清楚题目是还是，我以给出解答．
【答案】
【详解】注意，从而有：
12．设为曲面的上侧，则 ．
【答案】
【详解】显然曲面在平面的投影区域为
13．设为三阶矩阵，若线性无关，且，则线性方程组的通解为 ．
【答案】，其中为任意常数．
【详解】显然矩阵的秩，从而齐次线性方程组的基础解系中只含有一个解向量．由可知也就是为方程组基础解系，通解为，其中为任意常数．
14．设随机变量的概率密度为，为其分布函数，其数学期望，则 ．
【答案】
【详解】，．
三、解答题
15．（本题满分10分）
设函数是微分方程满足条件的特解．
（1）求；（2）求曲线的凸凹区间及拐点．
【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．
先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；
再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，得，
，也就是通解为：
把初始条件代