2018年西安建筑科技大学考研专业课真题620数学分析.doc

西 安 建 筑 科 技 大 学
2018 年攻读硕士学位研究生招生考试试题
(答案书写在本试题纸上无效。考试结束后本试题纸须附在答题纸内交回) 共 2 页
考试科目: 适用专业:
 （620）数学分析
数学
x2 + y2
1 - x2 - y2
10、设函数 f ( x) 在[a, b]上存在连续的二阶导数且 f ¢¢( x) ³ 0 。
求证：（1） f (
a + b
2
) £
1
b - a
ò
b
f ( x)dx ；（2）如果 f ( x) £ 0 ，则
a
1
b - a
ò
b
f ( x)d x£ f ( x) 。
a
¥
11、（1）设正项函数项级数 å un ( x) 在 D 上一致收敛且 "n Î ¥ , "x Î D 有 | vn ( x) |£ un ( x) 。
n=1
¥
求证：函数项级数 åvn ( x) 在 D 上一致收敛。
n=1
（2）求证：函数项级数
¥
å
n=1
n
x
n
在 | x |> r > 1 时一致收敛。
12、设常数 a > 0 ，函数 f ( x) 在 [0, +¥) 上连续且 lim f ( x) = f (0) 。
x®+¥
求证：至少存在 x0 Î[a, +¥) 使得 f ( x0 ) = f ( x0 - a) 。
一、计算题（共 6 题，每题 10 分，共 60 分）
1、设 a1 = 2, an+1 = 2 + an , "n Î ¥ 。求 lim an 。
n®¥
2、设函数 f ( x) = í
ì x2
x £ 1
îax + b x > 1
。求 a, b 的值使得 f ( x) 在 x = 1 处可导。
3、设抛物面 z = x2 + y2 被平面 x + y + z = 1 截成一个椭圆 G 。求椭圆 G 上的点到原点距离的最小
值与最大值。
4、设 v( y) 是[0, 1] 上的连续函数，函数 u( x) = ò0 k( x, y)v( y)d
1
y, x Î (0 1,) ，其中
k( x, y) = í
ì x(1 - y)
î y(1 - x)
x £ y
。求 u¢¢( x) 。
x > y
5、求锥面 z =
被柱面 z2 = 2 x 所截得部分 S 的面积。
6、设 S 是上半球面 z =