量子物理第二章薛定谔方程(2014.10.23)(有补充).doc

薛定谔方程
德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后， 德拜()评论说：有了波，
就应有一个波动方程。几个月后，薛定谔
果然提出了一个波方程，这就是后来在量
子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔方程的建立(一种方法)


· 一维自由运动粒子
无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)
Y(x, t) = y0 e-i(2p/h) (Et - px)


¶Y
¶ x
= ( )PY
i
h
¶2Y
¶ x2
P 2
h2
= -( ) Y
由此有

P2
2m
E =

¶ t
= ih ( ) Y (x, t)
h2
2m
-
( ) Y (x, t)
¶x2
¶
¶2
再利用 可得
此即
一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程

·推广到假设粒子在势场U(x, t) 中运动
P2
2m
E = +U(x, t)
由 有
¶Y
¶ t
= ih ( )
h2
2m
-
( )
¶2Y
¶x2
+ U(x, t)Y


一维薛定谔方程
式中 Y =Y (x, t)是粒子在势场U= U(x, t)
P2
2m
E = +U(x, t)
中运动的波函数
·和经典关系
相比较,只要把
¶
¶ t
E ® ih( )
¶
¶ x
P ® -ih( )


再作用到波函数 Y (x, t) 上，即可得到
上述方程。


由一维方程推广可得三维薛定谔方程式
= ih ( ) Y (r, t )

h2
¶
¶ t
2m
[-
+ U(r, t) ]Y (r, t)
Ñ2

拉普拉斯算符
¶2
¶x2
¶2
¶y2
Ñ2 º
+
+
¶2
¶z2

(三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见
教材B版p332)
·当 U(r, t) = 0时，方程的解，
即三维自由运动粒子的波函数
Y(r, t) =y0 e(-i / h) (E t - p × r )
波函数的叠加原理
薛定谔方程是 Y 的线性微分方程；
假设Y1、Y2是方程的解，
那么 c1Y1 + c2Y2也是方程的解。
(c1 、c2是常数)
荣获
1933年Nobel Prize (for the discovery
of new productive forms of atomic
theory)
薛定谔
(1887-1961)
奥地利人
创立量子力学


假设粒子在恒定势场
U = U (x) 中运动
(含常数势场U = U0 )
薛定谔方程式可用分离变量法求解。
(1)分离变量
·把波函数写为
Y(x,t) = y(x)T(t)
·代入一维薛定谔方程
¶Y
¶ t
= ih ( )
h2
2m
-
( )
¶2Y
¶x2
+ U(x)Y


ih
dT(t)
d t
= ET(t) (1)
那么分为两个方程
h2
2m
[-
+ U(x) ] y (x) = Ey (x)
(2)
d2
dx2

E在这里是分离常数，与x、t无关
·(1)式的解
T(t) = c