分式函数的图像与性质.doc

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分式函数的图像与性质
分式函数的图像与性质
学****过程
1、分式函数的概念
形如的函数称为分式函数。如，，等。
2、分式复合函数
形如的函数称为分式复合函数。如，，等。
※学****探究
探究任务一：函数的图像与性质
问题1：的图像是怎样的？
例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
由此可以画出函数的图像，如下：
单调减区间：；
值域：；
对称中心：。
【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素该函数的单调性由哪些条件决定
【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数的图像与性质
（1）定义域：；
（2）值域：；
（3）单调性：单调区间为；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；
（5）奇偶性：当时为奇函数；
（6）图象：如图所示
问题2：的图像是怎样的？
例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：函数的定义域为：；
根据单调性定义，可以求出的单调区间
增区间：
减区间：
函数的值域为：
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：
函数的图像如下：
【反思】如何绘制陌生函数的图像研究新函数性质应从哪些方面入手
【小结】分式函数的图像与性质：
（1）定义域：；
（2）值域：；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）单调性：在区间上是增函数，
在区间上为减函数；
（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像
解：函数的定义域为：；
根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为：
函数的值域为：
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：
函数的图像如下：
【反思】结合刚才的两个例子，与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？
函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。
【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像与的图像关于轴对称，所以图像如下：
【小结】的图像如下：
（i）
(ii)
(iii)
(iv)[来源:学+科+网Z+X+X+K]
的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数的图像与性质
问题3：函数的图像是怎样的单调区间如何
【分析】
所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：
单调增区间为：
单调减区间为：
值域：
图像如下：
【反思】函数的性质如何呢单调区间是怎样的呢
【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可