解三角形.ppt

解三角形.ppt学例1
(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b.
(方法一)在△ABC中,
因为sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:a· =3· ·c,
化简并整理得2(a2-c2)=b2.
又由已知a2-c2=2b,所以4b=b2,解得b=4或b=0(舍).
正、余弦定理的综合应用
(方法二)由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA.
又a2-c2=2b,b≠0，所以b=2ccosA+2. ①
又sinAcosC=3cosAsinC，
所以sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,
即sin(A+C)=4cosAsinC,即sinB=4cosAsinC.
由正弦定理得sinB= sinC,故b=4ccosA. ②
由①②解得b=4.
学例2
(2009·北京卷)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,B= ,cosA= ,b= .
(1)求sinC的值；
(2)求△ABC的面积.
(1)因为角A、B、C为△ABC的内角，且B= ,cosA= ,所以C= -A,sinA= .
于是sinC=sin( -A)= cosA+ sinA= .
3
5
(2)由(1)知sinA= ,sinC= .
又因为B= ,b= .
所以在△ABC中,由正弦定理得a= = .
于是△ABC的面积S= absinC
= × × ×
= .
-B= ,tanA-tanB= ,
则cosA·cosB= .
tan(A-B)= = ,
所以1+tanA·tanB=2，
即 =2，
所以cosA·cosB= cos(A-B)= .
(12分)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，
C的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积.
(1)用正弦定理,将边用角代换后求解.
(2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.

解 （1）在△ABC中，由正弦定理得
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,
代入(2a-c)cos B=bcos C,
解题示范
整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B,
［4分］
即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,
在△ABC中，sin A>0,2cos B=1,
∵∠B是三角形的内角，∴B=60°. ［6分］
（2）在△ABC中，由余弦定理得
b2=a2+c2-2ac·cos B
=(a+c)2-2ac-2ac·cos B, ［8分］
将b= ,a+c=4代入整理，得ac=3. ［10分］
［12分］
在求角问题中，一般都是用正、余弦定
，要注意角的
，要注意配方这一小技
巧，通过配方，使之出现（a+b）2或（a-b）2.
将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果.
5. （2008·辽宁理，17）在△ABC中，
内角A、B、C对边的边长分别是a、b、
知c=2,
（1）若△ABC的面积等于 ，求a、b的值；
（2）若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的
面积.
解 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC的面积等于 ，
所以 absin C= ,所以ab=4.
(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,
即sin Bcos A=2sin Acos A,
当c