等边三角形的判定 (2).ppt

第一章 三角形的证明
等边三角形的判定
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(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．
想一想
分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．
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定理：有一个角是60°.的等腰三角形是等边
三角形．
等边三角形的判定定理：
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求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形．
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B
A
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等边三角形的性质和判定：
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用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?
做一做
D
(
1
)
C
B
A
(
2
)
B
C
A
D
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定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC= AB．
C
B
A
D
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC= BD= AB．
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等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高．
[例题]
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；
求：CD的长.
C
B
A
D
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD= AC= ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
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一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗?
例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”．
但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立．
想一想
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试一试
命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．
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