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第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 January 2017 第第1 1页页§ § 特征函数§ § 大数定律§ § 随机变量序列的两种收敛性随机变量序列的两种收敛性§ § 中心极限定理第四章大数定律与中心极限定理 Law of Large Number and Central Limit Theorem 第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 January 2017 第第2 2页页§ 特征函数 Characteristic function 特征函数是处理概率论问题的有力工具, 其作用在于: ?可将卷积运算化成乘法运算; ?可将求各阶矩的积分运算化成微分运算; ?可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题; ?………. 第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 January 2017 第第3 3页页 特征函数的定义定义 设 X 是一随机变量,称?(t ) = E ( e itX)为 X 的特征函数. (必定存在)注意: 1i ? ?是虚数单位. t ?????第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 January 2017 第第4 4页页注意点(1) (1) 当X为离散随机变量时, (2) 当X为连续随机变量时, 1 ( ) k itxkk e p t?????( )d ( ) itx e p x x t???????这是 p(x ) 的傅里叶变换第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 January 2017 第第5 5页页特征函数的计算中用到复变函数,为此注意: 注意点(2) (1) 欧拉公式: cos( ) sin( ) itx e tx i tx ? ?(2) 复数的共轭: a bi a bi ? ??(3) 复数的模: 2 2 a bi a b ? ??第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 January 2017 第第6 6页页例 1 常用分布的特征函数?单点分布: ? 0 – 1分布:?泊松分布:?均匀分布:?标准正态分布:?指数分布: ( ) i t a t e ??( ) 1 it t pe q q p ?? ? ??其中( 1) ( ) ite t e ????( ) ( ) i b t i a t e e t i t b a ???? 22 ( ) t t e ??? 1 ( ) (1 ) itt???? ?第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 January 2017 第第7 7页页性质 特征函数的性质|?(t)| ??(0)=1 性质 ( ) ( ) t t ? ?? ?性质 ( ) ( ) ibt X aX b t e at ? ???性质 若 X 与 Y 独立,则( ) ( ) ( ) X Y X Y t t t ? ????性质 ( ) ( ) (0) k k k i E X ??第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 January 2017 第第8 8页页例 2 常用分布的特征函数?二项分布:?正态分布:?伽玛分布:?卡方分布: ( ) ( ) it n t pe q ?? ? 2 2 ( ) exp( 2) t it t ? ??? ?( ) (1 ) t it ?? ??? ? 2 ( ) (1 2 ) n t it ??? ?第四章第四章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 29 January 2017 29 J