华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总.doc

2000年华南师大学数学分析
填空题（3*10=30分）
设；
设
方程在区间[0,1]中至多有_________个根；

在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;
写出函数在x=0处的幂级数展开式：
曲线的弧长s=___________________.
(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.
(12分)设函数z=z(x,y),由方程所确定，其中f是可微函数，试证：
.
（12分）求极限：.
（12分）已知a,b为实数，且1<a<b,证明不等式：.
(12分)计算曲面积分：其中S是球面的外侧.
(10分)设,在[a,b]上连续，n=1,2,…,在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：在[a,b]上一致收敛于f(x).
2003年华南师大学数学分析
(12分)求极限
(12分)设
(12分)证明在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=在(0,+∞)上连续.
(12分)求第二型曲线积分，其中，，取逆时针方向。
(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果和都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。
(15分)设关于一致收敛，而且，对于每个固定的，f(x,y)关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于一致地收敛于0.
2004年华南师大学数学分析
(12分)设证明数列严格单调增加且收敛。
(12分)求函数的导函数，并讨论导函数的连续性。
(12分)求幂级数的收敛半径和收敛域。
(12分)求函数的Fourier级数，并由此求数列级数：
的和。
(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导(0<a<b)，f(a)≠f(b)，证明：存在，使得。
(15分)是以为心，r为半径的球，是以M0为心，r为半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明：
2005年华南师大学数学分析
计算题（4*8=32分）
求.
求.
求.
,取逆时针方向。
证明题（3*9=27分）
证明：对；
设，证明：；
设f(x)在(0,1)上连续，，证明:f(x)在(0,1)取到最大值.
讨论题（2*8=16分）
讨论级数的敛散性。
设，讨论的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。
2006年华南师大学数学分析
(15分)假设存在，试证明：.
(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。
(15分)假设在[a,b]上连续，级数在(a,b)上一致收敛，试证明：
（i）,收敛； (ii)在[a,b]上一致收敛。
(15分)假设,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此点不可微。
(15分)计算曲面积分，其中s为锥面所示部分，方向为外侧。
2007年华南师大学数学分析
(15分)证明数列收敛，并求其极限.
(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)有定义，且f(x)=f(-x).
.(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明；
.(10分)只假定存在，证明.
(15分)求积分：.
(15分)判别函数列的一致收敛性.