不动点原理及其应用.doc

题目： 不动点原理及其应用
摘要
本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。
关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理； 不动点原理应用
Abstract
In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point can use it to solve plenty of practice problems too.
Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录
引言 1
1
（距离空间） 1
（巴拿赫空间） 6
8
3不动点定理的应用 9
总结 11
参考文献 12
引言
在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。
1压缩映射原理
（距离空间）
：设是度量空间，是到中的映射，若存在数，使得对所有，有，则称T是压缩映射。【1】
：设是完备的距离空间，距离为，T是由到其自身的映射，且对任意的 ，不等式
， （）
成立，其中是满足不等式的常数，那么T在X中存在唯一的不动点，既存在唯一的使得=，可用迭代法求得.
证明：在X中任意取定一点，并令
，，由
可证明

由于 ，所以，则是X中的基本点列，由X的完备性可知收敛于X中某一点，由（）式可知，T是连续映射，在中，令，可得
=，
因此是T的一个不动点。
下证唯一性：设另有使得，则
因为，所以，即，唯一性成立。
：设：是上的映射，若对于某个自然数，有唯一不动点，则以同一点作为唯一不动点。【2】

证明：设是的唯一不动点，，则，因此是的不动点，由唯一性可知，又因为的每一个不动点肯定是的不动点，因此的不动点是唯一的。



设是矩形上的连续函数，，对于每个有
（）
，求证这个方程在中存在唯一解。
证明：考虑映射，
，
则有
（）
对此进行归纳，

（）
因此对任意的自然数n,
（）
当n足够大时，使，则是上的压缩映射，由于完备，因此有唯一的不动点，，有同一不动点，是方程的解。


设是压缩映射，求证也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.
证明：（1）因为是压缩映射，因此存在存在，使得
，则，