双曲线的方程.doc

双曲线的方程
编稿：张希勇 责编：李霞
【学****目标】
；
；
.
【要点梳理】
要点一、双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
要点诠释：
1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
要点二、双曲线的标准方程
标准方程的推导：
如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．
(1) 建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴

（2）建立直角坐标系.
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．
(3)代数方程
∵
∴
(4)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)
由双曲线定义，2c＞2a　 即c＞a，所以c2-a2＞0．
设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：
b2x2-a2y2=a2b2.
即，其中
这就是双曲线的标准方程.
双曲线的标准方程：
，双曲线的标准方程：，其中；
，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆
双曲线
根据|MF1|+|MF2|=2a
根据|MF1|－|MF2|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
标准方程统一为：
方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
要点诠释：
，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确