2021年静态场边值问题.ppt

边值问题的分类
第一类边值问题： 已知位函数在全部边界面上的分布值
边值问题 是指存在边界面的电磁问题。
根据给定边界条件对边值问题分类：
狄里赫利问题（Dirichlet）
第二类边值问题：已知位函数在全部边界面上的法向导数值
第三类边值问题：已知一部分边界面上的位函数值,和另一
部分边界面上位函数的法向导数值．
诺埃曼问题 （Neumann）
混合边值问题
2021/1/15
静态场边值问题
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边值问题框图
一、二类边界条件的线性组合，即
已知场域边界
上各点电位
的法向导数
已知场域边界
上各点电位值
第一类
边界条件
第二类
边界条件
第三类
边界条件
边值问题
参考点电位
有限值
场域
边界条件
分界面
衔接条件
自然
边界条件
微分方程
边界条件
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静态场边值问题
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解析法
数值法
实测法
模拟法
定性
定量
边值问题
研究方法
计算法
实验法
作图法
有限差分法
有限元法
边界元法
矩量法
模拟电荷法
积分法
分离变量法
镜像法、电轴法
微分方程法
保角变换法
数学模拟法
物理模拟法
边值问题研究方法框图
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静态场边值问题
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唯一性定理：在场域V的边界面S上给定位函数 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内的解唯一。
唯一性定理的意义
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
为静态场边值问题求解方法提供了理论根据，为结果
正确性提供了判据；
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的
理论根据。
唯一性定理 （Uniquness Theorem）
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静态场边值问题
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直角坐标系中的分离变量法
分离变量法是数理方程中应用最广泛的一种方法，它适用于求解具有理想边界条件的典型边值问题。
分离变量法是通过偏微分方程求解边值问题。其基本思想是：首先要求给定边界面与坐标面相合，或分段相合；其次要求待求偏微分方程的解可表示为若干个函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标变量的函数。这样，通过分离变量可将一个偏微分方程转化为多个常微分方程来求解。
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静态场边值问题
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分离变量法解题的一般步骤：
根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出
对应的边值问题（微分方程和边界条件）；
分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；
解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。
在直角坐标系中， 拉普拉斯方程为：
直角坐标系中的分离变量法
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静态场边值问题
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设 可以表示为三个函数的乘积， 即：
当 时
代入上式，得
其中 为分离常数，且
※ 分析 与 讨论
上式中每项都只是一个变量的函数，其成立的唯一条件是三项中每项都是一个常数，故有
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静态场边值问题
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当 时
通解：
当 时
令 其中 为实数
通解：
或者
同理可以求得 和
利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。
双曲函数
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静态场边值问题
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-1 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为零，盖板的电位为U(x)， 求此区域内的电位。
在区域 0<x<a、0<y<b内
边界条件为：
① x = 0, φ(0, y) = 0 ② x = a, φ(a, y) = 0
③ y = 0, φ(x, 0) = 0 ④ y = b, φ(x, b) = U(x)
解：
选择直角坐标系
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静态场边值问题
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通解：
其中
确定常数：
当 时
所以
由于在X方向上有重复零点（x＝0和a点），因此 函数应为三角函数，即： 且
令
分离变量
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静态场边值问题
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